Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	0	8	3	6	2	4	2	3	4	5	4	8	2	59

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Diagonalmatrix.
2. Der Kern zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Die Stetigkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$.

6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Lösung

1. Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

   nennt man Diagonalmatrix.

2. Der Kern von ${}\varphi$ ist

   ${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,.$

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).
   1. ${}x\sim x$.
   2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$.
   3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$.
4. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist,wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$.
2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Lösung

1. Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$.
   2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung

      ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

   3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

      ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

      eine eindeutige Lösung.

2. Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Lösung

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${}\,$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Lösung

Da ${}\varphi (e_{i})=w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\,$

erfüllt, und jeder Vektor ${}v\in K^{n}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m},$

indem wir jeden Vektor ${}v\in K^{n}$ mit der gegebenen Standardbasis als

${}v=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\,$

schreiben und

${}\varphi (v):=\sum _{i=1}^{n}s_{i}w_{i}\,$

ansetzen. Da die Darstellung von ${}v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}$ und ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ gilt

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(u+v\right)}&=\varphi {\left({\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(s_{i}+t_{i})\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi (e_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Es sei ${}v=\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}$ und ${}s\in K$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(sv\right)}&=\varphi {\left(s{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}e_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}e_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}s\cdot t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\\&=s\cdot {\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\varphi {\left(e_{i}\right)}\right)}\\&=s\cdot \varphi (v).\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten (die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland). Es sei ${}M$ die Menge der Bundesländer und sei ${}R$ die Relation auf ${}M$, die die Angrenzungsbeziehung (Nachbarschaftsbeziehung) beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.

1. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt diese Relation?
2. Bestimme die Faser zu Kärnten.
3. Gibt es eine Kette ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ in ${}M$ mit ${}x_{i}Rx_{i+1}$ für alle ${}i$, bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?

Lösung

1. Die Relation ist offenbar symmetrisch und aufgrund der Festlegung auch reflexiv. Sie ist nicht transitiv, da beispielsweise Kärnten und Steiermark und Steiermark und Niederösterreich benachbart sind, aber nicht Kärnten und Niederösterreich.
2. Die Faser zu Kärnten besteht aus Kärnten, Steiermark, Salzburg, Tirol.
3. Das ist möglich: Wien, Niederösterreich, Burgenland, Steiermark, Oberösterreich, Salzburg, Kärnten, Tirol, Vorarlberg.

Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

1. Finde den kleinsten Exponenten ${}n\geq 2$ derart, dass die Potenzierung

   $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$

   die Identität ist.

2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?

Lösung

1. Wir gehen die Exponenten

   ${}n=2,3,4,...\,$

   durch und schauen, ob die Abbildung

   $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$

   die Identität ist oder nicht. Alle Rechnungen werden in ${}\mathbb {Z} /(10)$ durchgeführt.

   ${}n=2\,.$

   Wegen

   ${}2^{2}=4\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=3\,.$

   Wegen

   ${}2^{3}=8\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=4\,.$

   Wegen

   ${}2^{4}=16=6\neq 2\,$

   ist dies nicht die Identität.

   ${}n=5\,.$

   Es ist

   ${}2^{5}=32=2\,,$

   ${}3^{5}=243=3\,,$

   ${}4^{5}={\left(2^{5}\right)}^{2}=2^{2}=4\,,$

   ${}5^{5}=5\,.$

   Für ${}x$ zwischen ${}6$ und ${}9$ gehört ${}-x$ zum bereits untersuchten Bereich und es ist

   ${}(-x)^{5}=(-1)^{5}x^{5}=-x\,.$

   Daher ist die fünfte Potenzierung die Identität. Der minimale Exponent ist somit ${}5$.

2. Die Endziffer im Zehnersystem ist einfach der Rest modulo ${}10$. Daher bedeutet das Ergebnis, dass die Endziffer der fünften Potenz einer natürlichen Zahl stets mit deren Endziffer übereinstimmt, und dass dies nicht für die zweite, dritte oder vierte Potenz gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{4}-20X^{2}+16$ ist.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{2}&={\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}\right)}^{2}\\&={\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {7}}^{2}+2{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {7}}\\&=3+7+2{\sqrt {21}}\\&=10+2{\sqrt {21}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}X^{4}&={\left(X^{2}\right)}^{2}\\&={\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}^{2}\\&=100+4\cdot 21+40{\sqrt {21}}\\&=184+40{\sqrt {21}}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}{\begin{aligned}X^{4}-20X^{2}+16&=184+40{\sqrt {21}}-20{\left(10+2{\sqrt {21}}\right)}+16\\&=184-200+16+{\left(40-20\cdot 2\right)}{\sqrt {21}}\\&=0.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Die konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach Lemma 44.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein ${}D>0$ mit ${}\vert {x_{n}}\vert \leq D$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Sei ${}x:=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ und ${}y:=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$. Wir setzen ${}C:=\max\{D,\vert {y}\vert \}$. Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ mit

$\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{1}{\text{ und }}\vert {y_{n}-y}\vert \leq {\frac {\epsilon }{2C}}{\text{ für }}n\geq N_{2}.$

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle ${}n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. Für diese Zahlen gilt daher

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}y_{n}-xy}\vert &=\vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy}\vert \\&\leq \vert {x_{n}y_{n}-x_{n}y}\vert +\vert {x_{n}y-xy}\vert \\&=\vert {x_{n}}\vert \vert {y_{n}-y}\vert +\vert {y}\vert \vert {x_{n}-x}\vert \\&\leq C{\frac {\epsilon }{2C}}+C{\frac {\epsilon }{2C}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

In ${}\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch ${}x_{0}=0$, ${}x_{1}=0,7$, ${}x_{2}=0,73$, ${}x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren?

Lösung

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise ${}x_{n}=n$ für ${}n\geq 4$ ist, so konvergiert die Folge weder in ${}\mathbb {Q}$ noch in ${}\mathbb {R}$. Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen ${}x_{n}=0$ für ${}n\geq 4$ ist, so konvergiert die Folge sowohl in ${}\mathbb {Q}$ als auch in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}0$. Die Folge kann also konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${}a-2b+4c=3\,,$

${}a=2\,,$

${}a+b+c=4\,.$

${}2III+I$ führt auf

${}3a+6c=11\,,$

also

${}c={\frac {5}{6}}\,.$

In ${}III$ eingesetzt ergibt sich

${}b=4-2-{\frac {5}{6}}={\frac {7}{6}}\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

$2+{\frac {7}{6}}X+{\frac {5}{6}}X^{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}x^{2}+{\frac {1}{x}}=3\,$

eine reelle Lösung im Intervall ${}[1,2]$ besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

Lösung

Die Gleichung ist (für ${}x\neq 0$) äquivalent zu

${}f(x)=x^{3}-3x+1=0\,.$

Für ${}x=1$ ist

${}f(1)=-1\,$

und für ${}x=2$ ist

${}f(2)=3\,.$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein ${}x\in [0,1]$ mit

${}f(x)=0\,.$

Um ein solches ${}x$ anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist ${}{\frac {3}{2}}$ und es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}&={\left({\frac {3}{2}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {3}{2}}+1\\&={\frac {27-36+8}{8}}\\&=-{\frac {1}{8}}\\&<0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},2]$. Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {7}{4}}$. Es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {7}{4}}\right)}&={\left({\frac {7}{4}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {7}{4}}+1\\&={\frac {343-336+64}{64}}\\&={\frac {71}{64}}\\&>0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also im Intervall ${}[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$. Die nächste Intervallmitte ist ${}{\frac {13}{8}}$. Es ist

${}{\begin{aligned}f{\left({\frac {13}{8}}\right)}&={\left({\frac {13}{8}}\right)}^{3}-3\cdot {\frac {13}{8}}+1\\&={\frac {2197-2496+512}{512}}\\&={\frac {213}{512}}\\&>0.\end{aligned}}$

Eine Nullstelle liegt also in ${}[{\frac {12}{8}},{\frac {13}{8}}]$, die Intervalllänge ist ein Achtel.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

stetig ist.

Lösung

Es sei ${}b>1$. Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe 48.23 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) die Folge ${}{\sqrt[{n}]{b}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}1$ konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon$ ein positives ${}\delta$ mit der Eigenschaft, dass aus

${}\vert {x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {1-b^{x}}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. Es sei nun ${}x$ beliebig und ${}\epsilon$ vorgegeben. Wir betrachten ein ${}\delta$, das zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b^{x}}}\,$

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Lemma 53.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1) für ${}x'$ mit

${}\vert {x'-x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {b^{x}-b^{x'}}\vert =\vert {b^{x}{\left(1-b^{x'-x}\right)}}\vert =\vert {b^{x}}\vert \cdot \vert {1-b^{x'-x}}\vert \leq b^{x}\cdot {\frac {\epsilon }{b^{x}}}=\epsilon \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Lösung

Die Kreisgleichung ist

${}(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16\,.$

Wir lösen die Geradengleichung nach ${}y$ auf und erhalten

${}y=3x-1\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten

${}(x+2)^{2}+(3x-4)^{2}=x^{2}+4x+4+9x^{2}-24x+16=16\,,$

also

${}10x^{2}-20x+4=0\,$

bzw.

${}x^{2}-2x+{\frac {2}{5}}=0\,.$

Somit ist

${}x={\frac {2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {2}{5}}}}}{2}}={\frac {2\pm {\sqrt {\frac {12}{5}}}}{2}}={\frac {2\pm 2{\sqrt {\frac {3}{5}}}}{2}}=1\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}\,.$

Bei

${}x_{1}=1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,$

ist

${}y_{1}=3{\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,$

der erste Schnittpunkt ist also

${}P_{1}=\left(1+{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2+3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.$

Bei

${}x_{2}=1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,$

ist

${}y_{2}=3{\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)}-1=2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\,,$

der zweite Schnittpunkt ist also

${}P_{2}=\left(1-{\sqrt {\frac {3}{5}}},\,2-3{\sqrt {\frac {3}{5}}}\right)\,.$

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine ${}1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.

1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile ${}0$ bis Zeile ${}4$).
2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ${}1$ ist.
3. Zeige, dass in der ${}n$-ten Zeile die Zahlen ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)$, ${}k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung stehen.

Lösung

1. Es ergibt sich das folgende Schema.

   ${\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&\\&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{4}}&\\&{\frac {1}{8}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {1}{8}}&\\{\frac {1}{16}}&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {3}{8}}&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{16}}\end{matrix}}$

2. Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige ${}1$ steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der ${}n$-ten Zeile gleich ${}1$ ist. Jeder Eintrag der ${}n$-ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem linken Nachbarn und einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem rechten Nachbarn. Beides mal wird dabei die Hälfte des Eintrages verwendet. Die Gesamtsumme ist also wieder gleich ${}1$.
3. Es ist

   ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}\,.$

   Für ${}n=0$ ist

   ${}B_{{\frac {1}{2}},0}(0)=1\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{0}=1\,,$

   was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Lemma 13.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))

   ${}{\begin{aligned}B_{{\frac {1}{2}},n+1}(k)&={\binom {n+1}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}+{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n+1}\\&={\frac {1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}+{\frac {1}{2}}{\binom {n}{k-1}}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n}\\&={\frac {1}{2}}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)+{\frac {1}{2}}B_{{\frac {1}{2}},n}(k-1),\end{aligned}}$

   d.h. ${}B_{{\frac {1}{2}},n+1}(k)$ ist das arithmetische Mittel von ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)$ und ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k-1)$. Die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der ${}n$-ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.

Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.

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