Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 5 8 3 6 2 4 2 3 4 5 4 8 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Diagonalmatrix.
  2. Der Kern zu einer linearen Abbildung
  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  5. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.


Lösung

  1. Eine -Matrix der Form

    nennt man Diagonalmatrix.

  2. Der Kern von ist
  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  4. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Basen im .
  2. Der Satz über die Eindeutigkeit des Limes in einem angeordneten Körper .
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Lösung

  1. Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. Die Vektoren bilden eine Basis des .
    2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ist die triviale Darstellung
    3. Für jedes besitzt das lineare Gleichungssystem

      eine eindeutige Lösung.

  2. Eine Folge in einem angeordneten Körper besitzt maximal einen Limes.
  3. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png








  2. 4GeradenKeinSchnittpunkt.png








  3. 4Geraden1Schnittpunkt.png








  4. 4Geraden6Schnittpunkte.png









Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

  1. Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
  2. Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
  3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?


Lösung

  1. Der Mittelpunkt von und besitzt die Koordinaten .
  2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten (). Da es Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien und zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von und ganzzahlige Koordinaten.
  3. Die vier Punkte

    zeigen, dass dies nicht gelten muss.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen


Lösung

Da sein soll und eine lineare Abbildung nach Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))  (2) für jede Linearkombination die Eigenschaft

erfüllt, und jeder Vektor sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

indem wir jeden Vektor mit der gegebenen Standardbasis als

schreiben und

ansetzen. Da die Darstellung von als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren und gilt



Sei und . Dann ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Austria States Cities.png

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten (die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland). Es sei die Menge der Bundesländer und sei die Relation auf , die die Angrenzungsbeziehung (Nachbarschaftsbeziehung) beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.

  1. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt diese Relation?
  2. Bestimme die Faser zu Kärnten.
  3. Gibt es eine Kette in mit für alle , bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?


Lösung

  1. Die Relation ist offenbar symmetrisch und aufgrund der Festlegung auch reflexiv. Sie ist nicht transitiv, da beispielsweise Kärnten und Steiermark und Steiermark und Niederösterreich benachbart sind, aber nicht Kärnten und Niederösterreich.
  2. Die Faser zu Kärnten besteht aus Kärnten, Steiermark, Salzburg, Tirol.
  3. Das ist möglich: Wien, Niederösterreich, Burgenland, Steiermark, Oberösterreich, Salzburg, Kärnten, Tirol, Vorarlberg.


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

  1. Finde den kleinsten Exponenten derart, dass die Potenzierung

    die Identität ist.

  2. Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?


Lösung

  1. Wir gehen die Exponenten

    durch und schauen, ob die Abbildung

    die Identität ist oder nicht. Alle Rechnungen werden in durchgeführt.

    Wegen

    ist dies nicht die Identität.

    Wegen

    ist dies nicht die Identität.

    Wegen

    ist dies nicht die Identität.

    Es ist

    Für zwischen und gehört zum bereits untersuchten Bereich und es ist

    Daher ist die fünfte Potenzierung die Identität. Der minimale Exponent ist somit .

  2. Die Endziffer im Zehnersystem ist einfach der Rest modulo . Daher bedeutet das Ergebnis, dass die Endziffer der fünften Potenz einer natürlichen Zahl stets mit deren Endziffer übereinstimmt, und dass dies nicht für die zweite, dritte oder vierte Potenz gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


Lösung

Es ist

und

Somit ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Produktfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 44.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit

Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher


Aufgabe (2 Punkte)

In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch , , , gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?


Lösung

Es sind nur die ersten Folgenglieder vorgegeben, die Folge kann beliebig weitergehen. Wenn beispielsweise für ist, so konvergiert die Folge weder in noch in . Die Folge muss also nicht konvergieren. Wenn hingegen für ist, so konvergiert die Folge sowohl in als auch in gegen . Die Folge kann also konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

also

In eingesetzt ergibt sich

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Lösung

Die Gleichung ist (für ) äquivalent zu

Für ist

und für ist

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein mit

Um ein solches anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist und es ist

Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist

Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist

Eine Nullstelle liegt also in , die Intervalllänge ist ein Achtel.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Lösung

Sei . Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe 48.22 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) die Folge , , gegen konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ein positives mit der Eigenschaft, dass aus

die Abschätzung

folgt. Sei nun beliebig und vorgegeben. Wir betrachten ein , das zu

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt *****  (1) für mit

die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Lösung

Die Kreisgleichung ist

Wir lösen die Geradengleichung nach auf und erhalten

Dies setzen wir in die Kreisgleichung ein und erhalten

also

bzw.

Somit ist

Bei

ist

der erste Schnittpunkt ist also

Bei

ist

der zweite Schnittpunkt ist also


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das arithmetische Mittel bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.

  1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile bis Zeile ).
  2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ist.
  3. Zeige, dass in der -ten Zeile die Zahlen , , der Binomialverteilung stehen.


Lösung

  1. Es ergibt sich das folgende Schema.
  2. Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der -ten Zeile gleich ist. Jeder Eintrag der -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem linken Nachbarn und einmal als Teil des arithmetischen Mittels mit dem rechten Nachbarn. Beides mal wird dabei die Hälfte des Eintrages verwendet. Die Gesamtsumme ist also wieder gleich .
  3. Es ist

    Für ist

    was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Lemma 13.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019))

    d.h. ist das arithmetische Mittel von und . Die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.


Aufgabe (2 Punkte)

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.


Lösung Wahrscheinlichkeitstheorie/Addition und Multiplikation/Beispiele/Aufgabe/Lösung