Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Lucy Sonnenschein befindet sich auf der Zahlengerade in Position ${}2$ und schaut in die positive Richtung. Sie bewegt sich drei Schritte nach vorne (das bezieht sich auf ihre momentane Ausrichtung), sodann sieben Schritte zurück, sie macht sodann eine Halbdrehung, dann geht sie vier Schritte nach vorne, macht wieder eine Halbdrehung, macht einen Salto rückwärts im Stand und geht zwei Schritte zurück. In welcher Position befindet sie sich zum Schluss?

Übungsaufgaben

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Aufgabe

Welche Vorstellungen zu den ganzen Zahlen (einschließlich der Verknüpfungen) haben Sie?

Aufgabe

Wir betrachten die Tage

$\ldots {\text{ vorvorvorgestern}},\,{\text{ vorvorgestern}},\,{\text{ vorgestern}},\,{\text{ gestern}},\,{\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots$

als Zahlen und addieren mit ihnen.

1. Bestimme vorgestern von morgen.
2. Bestimme vorvorvorgestern von übermorgen.
3. Bestimme vorvorvorvorgestern von vorvorvorgestern von überüberüberüberübermorgen.
4. Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um heute zu erhalten?
5. Wie bestimmt man den „negativen“ Tag zu einem gegebenen Tag?
6. Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um vorvorgestern zu erhalten?
7. Wie selbstverständlich ist in diesem Modell das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz?

Aufgabe

Wie zählt man die Jahre in der Geschichte? Warum?

Aufgabe

Was hat die Temperaturskala mit den ganzen Zahlen zu tun?

Aufgabe

Soll man eine negative Zahl stets mit einem Minuszeichen als ${}-x$ schreiben? Oder darf man eine negative Zahl auch mit ${}x$ bezeichnen?

Aufgabe

Man mache sich die verschiedenen Rollen des Minuszeichens klar: Benennungszeichen (Teil des Namens der Zahl), Umkehrungszeichen (Negationszeichen), Verknüpfungszeichen (Subtraktionszeichen bzw. bedingtes Subtraktionszeichen in ${}\mathbb {N}$). Wo könnten prinzipiell Verwechslungen auftreten? Aufgrund von welchen mathematischen Gesetzmäßigkeiten ist diese mehrfache Verwendung des gleichen Zeichens sinnvoll?

Aufgabe

Es sei ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne

${\left(N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ V\circ N\circ N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ N\circ V\right)}(3).$

Aufgabe *

Zeige, dass die Nachfolgerabbilung ${}N\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ die folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Die Nachfolgerabbildung stimmt auf ${}\mathbb {N}$ mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
2. Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv.
3. Es ist ${}N(-a)=-V(a)$ und ${}V(-b)=-N(b)$ für ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von ${}0$ durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Beweise die Gleichheit

${}V^{2a}(a)=-a\,$

für ${}a\in \mathbb {N}$ durch Induktion über ${}a$.

In der folgenden Aufgabe verstehen wir zu ${}a\in \mathbb {Z}$ unter ${}\mathbb {Z} _{\geq a}$ die Menge aller sukzessiven Nachfolger von ${}a$ (einschließlich ${}a$) und unter ${}\mathbb {Z} _{\leq a}$ die Menge aller sukzessiven Vorgänger von ${}a$. Dies stimmt mit der späteren Definition über die Ordung auf ${}\mathbb {Z}$ überein.

Aufgabe

Zeige, dass zu jeder ganzen Zahl ${}a$ sowohl die Menge ${}\mathbb {Z} _{\geq a}$ mit der Nachfolgerabbildung als auch die Menge ${}\mathbb {Z} _{\leq a}$ mit der Vorgängerabbildung die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\,$

mit der natürlichen Nachfolgerabbildung ${}N$, die wir durch ${}N(9)=0$ ergänzen. Vergleiche diese Menge mit den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und der dortigen Nachfolgerabbildung unter den folgenden Aspekten.

1. Ist ${}N$ bijektiv?
2. Was ist die Umkehrabbildung?
3. Gibt es eine Abbildung

   $\mathbb {Z} \longrightarrow M,$

   die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert? Man denke an ein Zahnrad und eine unendliche Zahngerade.

4. Gibt es eine Abbildung

   $M\longrightarrow \mathbb {Z} ,$

   die die beiden Nachfolgerabbildungen respektiert?

5. Kann man auf ${}M$ eine Addition einführen?

Aufgabe

Wir nehmen die Menge ${}M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ mit der Nachfolgerabbildung aus Aufgabe 18.12 unendlich oft, und zwar für jede natürliche Zahl ${}i$ genau einmal, diese Kopie bezeichnen wir mit ${}M_{i}$. Vergleiche die Nachfolgerabbildung auf dieser Gesamtmenge und auf ${}\mathbb {Z}$. Gibt es eine Addition auf dieser Gesamtmenge?

Aufgabe

Es seien zwei Haufen ${}H$ und ${}G$ an (hinreichend vielen) Äpfeln gegeben. Es werden der Reihe nach ${}7$ Äpfel von ${}H$ nach ${}G$, ${}13$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$, dann ${}10$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$ und schließlich ${}9$ Äpfel von ${}H$ nach ${}G$ transportiert. Wie viele Äpfel werden insgesamt und in welche Richtung transportiert?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein hat einen Stand auf dem Flohmarkt. Sie verkauft ein altes Kleid für ${}8$ Euro, trinkt einen Kaffee für ${}2$ Euro, verkauft eine alte Schallplatte für ${}5$ Euro, hat Hunger und holt sich eine Schlachtplatte für ${}7$ Euro, verschenkt einen Aschenbecher und kauft sich beim Nachbarstand eine coole Bluse für ${}3$ Euro. Wie sieht ihr finanzielles Gesamtergebnis vom Flohmarkttag aus?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}71$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}23$ Stunden nach vorne, dann ${}87$ Stunden zurück, dann ${}17$ Stunden zurück, dann ${}10$ Stunden nach vorne und dann ${}13$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Aufgabe

Ein Elektron ${}e$ hat eine negative Elementarladung und ein Proton ${}p$ hat eine positive Elementarladung, die sich gegenseitig neutralisieren. Auf einer bislang ladungstechnisch neutralen Weihnachtskugel landen zuerst ${}3$ Elektronen, dann ${}5$ Protonen, sodann ${}1$ Elektron und schließlich nochmal ${}2$ Elektronen. Durch welchen einfacheren Elementarteilchenflug hätte man die Endladung der Kugel auch erreichen können?

Aufgabe

Mustafa Müller und Heinz Ngolo tauschen Fußballbildchen aus. Mustafa gibt Heinz vier Bildchen und Heinz gibt Mustafa fünf Bildchen. Daheim merkt Mustafa, dass er jetzt eines doppelt hat und gibt es am Nachmittag zurück. Heinz hat vier neue Bildchen von seiner Oma bekommen, davon gibt er zwei an Mustafa weiter. Der revanchiert sich mit einem Bildchen. Wie viele Bildchen haben sie unter dem Strich ausgetauscht?

Aufgabe

Gabi Hochster und Heinz Ngolo tauschen Küsse aus. Gabi gibt Heinz drei Küsse, daraufhin gibt Heinz Gabi fünf Küsse, woraufhin Gabi einen Kuss zurückgibt. Wie viele Küsse haben sie unter dem Strich ausgetauscht?

Aufgabe

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Addition auf ${}\mathbb {Z}$, ob ${}+$ die Addition in ${}\mathbb {N}$ oder in ${}\mathbb {Z}$ bezeichnet und ob ${}-$ die Differenz auf ${}\mathbb {N}$ oder die Negation bezeichnet.

Aufgabe

Es bezeichne ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

${}x+y=N(x)+V(y)\,$

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.

Aufgabe

Begründe, dass man allein mit Hilfe der Umlegungsregel

${}x+y=N(x)+V(y)\,$

jede Addition innerhalb der ganzen Zahlen ausrechnen kann. Führe dies für ${}3+-(5)$ durch.

Aufgabe

Beweise die übrigen Fälle für die Assoziativität der Addition in ${}\mathbb {Z}$ wie im Beweis zu Lemma 18.10.

Aufgabe

Zeige, dass zu gegebenen ganzen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ die Gleichung

${}a+x=b\,$

eine eindeutige Lösung, nämlich ${}b-a$, besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass für jede ganze Zahl ${}a\in \mathbb {Z}$ die Additionsabbildung mit ${}a$, also

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto x+a,$

bijektiv ist. Was ist die Umkehrabbildung?

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe *

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)

$----------------7\cdot -------11.$

Aufgabe

Präzisiere an jeder Stelle der Definition der Multiplikation auf ${}\mathbb {Z}$, ob ${}\cdot$ die Multiplikation in ${}\mathbb {N}$ oder in ${}\mathbb {Z}$ bezeichnet.

Aufgabe

Beweise die Assoziativität der Multiplikation in ${}\mathbb {Z}$. Wie kann man die Anzahl der möglichen Fälle reduzieren?

Aufgabe

Heinz Ngolo multipliziert eine positive Zahl mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer positiven Zahl, das Ergebnis multipliziert er mit einer negativen Zahl. Ist das Ergebnis positiv oder negativ?

Aufgabe

Berechne

$(-1)^{934050663653}.$

Aufgabe *

Zeige, dass für zwei von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen ${}x,y$ auch das Produkt ${}x\cdot y$ von ${}0$ verschieden ist.

Aufgabe

Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation der ganzen Zahlen, wobei aber nur die drei Symbole ${}0,p,n$ (für positiv und negativ) vorkommen sollen. Ist eine solche Verknüpfungstabelle wohldefiniert und sinnvoll? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Ist eine entsprechende Verknüpfungstabelle für die Addition sinnvoll?

Aufgabe

Was kommt heraus, wenn man ${}-7$ „positiv nimmt“ oder von ${}-7$ „das Positive nimmt“?

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für den Betrag ganzer Zahlen.

1. ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Eine der Aufgaben zum Abgeben verwendet den folgenden Begriff.

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die Familie Müller hat im Monat Dezember folgende Einnahmen und Ausgaben (alles in Euro). Gehälter: ${}4847$, Lebensmittelkosten: ${}1250$, Kosten für das Silvesterfeuerwerk: ${}101$, Schuldentilgung: ${}705$, Zinsen: ${}280$, Geschenke kaufen: ${}325$, Lottogewinn: ${}253$, Unterstützung an die Oma: ${}300$, Taschengeld für die Kinder: ${}40$, Spende an die Bahnhofsmission: ${}80$, auf der Straße gefunden: ${}20$, Heizungskosten: ${}531$, Fortbildungsseminar: ${}345$, Ausflug an die Nordsee: ${}470$, Wasser- und Strom: ${}360$, Opernbesuch: ${}108$, Erlös durch den Verkauf der Fußballbildchen von Mustafa: ${}35$.

Wie hoch sind die Gesamteinnahmen und wie hoch sind die Gesamtausgaben der Familie im Dezember? Wie sieht die Gesamtbilanz für den Monat Dezember aus?

Aufgabe (3 Punkte)

Die Fahrradtournee „Rund um die Nordseedünen“ besteht aus sechs Etappen. Auch in diesem Jahr kommen nur drei Fahrer für den Sieg in Frage: Albert Albrecht, Bruno Rotato und Cico Ferrari. Bei der ersten Etappe fährt Albert einen Vorsprung von ${}13$ Sekunden auf Bruno und von ${}16$ Sekunden auf Cico heraus. Bei der zweiten Etappe landet Cico an erster Stelle mit einem Vorsprung von ${}19$ Sekunden auf die zeitgleichen Albert und Bruno. Das dritte Rennen gewinnt Bruno, Cico kommt ${}8$ Sekunden danach ins Ziel mit einem Vorsprung von ${}3$ Sekunden auf Albrecht. Bei der vierten Etappe verliert Bruno ${}1$ Sekunde auf Cico und ${}3$ Sekunden auf Albrecht. Die fünfte Etappe gewinnen Albrecht und Cico zeitgleich mit einem Vorsprung von ${}4$ Sekunden auf Bruno. Bei der letzten Etappe verliert Albrecht ${}11$ Sekunden gegenüber Cico, dafür gewinnt er ${}7$ Sekunden gegenüber Bruno.

Welche Gesamtzeitabstände bestehen am Ende der Tournee zwischen den drei Fahrern?

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Apotheker hat eine zweischalige Waage zur Verfügung und die folgenden Gewichte: Zwei ${}1$-Gramm-Gewichte, ein ${}5$-Gramm-Gewicht, zwei ${}10$-Gramm-Gewichte, ein ${}50$-Gramm-Gewicht, zwei ${}100$-Gramm-Gewichte, ein ${}500$-Gramm-Gewicht, u.s.w. Zeige, dass er mit diesen Gewichten jede Menge (in vollen Gramm) abwiegen kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Multiplikation mit ${}-1$ auf den ganzen Zahlen, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,g\longmapsto -g,$

bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Unter welchen Bedingungen gilt für ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ die Gleichheit

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}a_{i}}\vert =\sum _{i=1}^{n}\vert {a_{i}}\vert \,?$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.36 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?