Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$

aus.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die (ungefähren) Koordinaten des skizzierten Punktes (eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit).

Aufgabe

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$.

$(3,-7),\,(-1,-2),\,(0,5),\,(4,4),\,(4,5),\,(-3,0),\,(0,0).$

Aufgabe

Es sei ein Punkt ${}P=(x,y)$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Punkte

$(-x,y),\,(x,-y),\,(-x,-y),\,(3x,3y),(-2x,-2y).$

Aufgabe

Es sei ein Punkt ${}P=(x,y)$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte

$(cx,cy),\,c\in \mathbb {R} .$

Aufgabe

Markiere zwei Punkte ${}P$ und ${}Q$ in der kartesischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ und addiere sie.

Aufgabe

Zeige, dass der Zahlenraum ${}K^{n}$ zu einem Körper ${}K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

1. ${}r(su)=(rs)u$,
2. ${}r(u+v)=ru+rv$,
3. ${}(r+s)u=ru+su$,

4. ${}1u=u\,,$

erfüllt.

Aufgabe

Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set ${}A$ enthält ${}10$ große, ${}10$ mittlere und ${}5$ kleine Schrauben, Set ${}B$ enthält ${}15$ große, ${}5$ mittlere und ${}20$ kleine Schrauben, Set ${}C$ enthält ${}8$ große, ${}12$ mittlere und ${}6$ kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen?

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}8\\7\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-5\\8\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K^{n}$ der ${}n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren im ${}K^{n}$ und ${}w\in K^{n}$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass der Matrizenraum ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

Aufgabe *

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Bestimme das Matrizenprodukt

$e_{i}\circ e_{j},$

wobei links der ${}i$-te Standardvektor (der Länge ${}n$) als Zeilenvektor und rechts der ${}j$-te Standardvektor (ebenfalls der Länge ${}n$) als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt ${}Me_{j}$ mit dem ${}j$-ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die ${}j$-te Spalte von ${}M$ ergibt. Was ist ${}e_{i}M$, wobei ${}e_{i}$ der ${}i$-te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?

Zu einer quadratischen Matrix ${}M$ bezeichnet man mit ${}M^{n}$ die ${}n$-fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von ${}n$-ten Potenzen der Matrix.

Aufgabe

Berechne zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\,$

die Potenzen

$M^{i},\,i=1,\ldots ,4.$

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix. Beschreibe ${}DM$ und ${}MD$.

Aufgabe

Es sei

${}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,$

eine Diagonalmatrix und ${}c={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein ${}n$-Tupel über einem Körper ${}K$, und es sei ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

${}Dx=c\,,$

und wie löst man es?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(5,-8)$

als Linearkombination der Vektoren

$(6,-4){\text{ und }}(-3,7)$

aus.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\7\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c\\0&0&d&e\\0&0&0&f\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

über einem Körper ${}K$. Zeige, dass die vierte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

${}M^{4}=MMMM=0\,.$

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix, ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix und ${}C$ eine ${}p\times r$-Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}(AB)C=A(BC)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Finde und beweise eine Formel für die ${}n$-te Potenz der Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Finde neben den beiden Matrizen ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ vier weitere Matrizen ${}M$ mit der Eigenschaft ${}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.