Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 22/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Zeige, dass die Isotropiegruppen zu zwei äquivalenten Elementen ${}x,y\in M$ in natürlicher Weise isomorph sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte den Beweis zu Lemma 22.2 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
2. ${}G$ ist die Vereinigung aller ${}G_{H}$.
3. Es sei ${}g\neq \operatorname {Id} \,$. Das Element ${}g$ kommt in genau zwei der ${}G_{H}$ vor. In welchen?
4. Die Halbachsenklasse ${}K_{i}$ enthält ${}n/n_{i}$ Elemente.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe die Formel

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}M$ eine Menge und

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \sigma _{g},$

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von ${}M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm({\mathfrak {P}}\,(M))} \,,\,g\longmapsto (N\mapsto g(N)),$

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der ${}\operatorname {SO} _{n}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge ${}\neq 0,1$ sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Ordnungen der Elemente aus der alternierenden Gruppe ${}A_{5}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 22.9 ändern

Es seien ${}A_{1},A_{2},A_{3}$ und ${}A_{4}$ vier Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare, eigentliche Isometrie mit ${}f(A_{i})=A_{i}$ für ${}i=1,2,3,4$. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ Drehungen um die ${}x$-Achse, die ${}y$-Achse und die ${}z$-Achse mit den Ordungen ${}\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$ (${}\varphi _{1}$ ist also eine Drehung um den Winkel ${}360/\ell _{1}$ Grad um die ${}x$-Achse, etc.). Es sei ${}1\leq \ell _{1}\leq \ell _{2}\leq \ell _{3}$. Für welche Tupel ${}(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})$ ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.