Kurs:Körper- und Galoistheorie/T3/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 3 3 3 4 5 5 5 4 7 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  3. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  5. Eine algebraische Zahl .
  6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
  3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der -linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Zerlegung von in .
  2. Bestimme den Zerfällungskörper von .
  3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
  4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .