Kurs:Körper- und Galoistheorie/T3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	$\sum$
Punkte	3	3	3	4	4	3	3	3	4	5	5	5	4	7	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
2. Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
3. Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
5. Eine algebraische Zahl  $z\in ℂ$. 
6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
2. Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

$x^2+3x+\frac{7}{3}=0$

in $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$ liegen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

$x^4+3x^3-5x^2+2x-7=0$

in eine äquivalente Gleichung der Form

$y^4+b_2{y}^2+b_{1}y+b_0=0$

mit  $b_i\in \mathbb{Q}$  um.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring $\mathbb{Z}/(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb{Z}/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)$

das Produkt

$(2x^2+5x+3)\cdot (3x^2+x+6)$

($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $2+5\mathrm{i}$ über $\mathbb{Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und $f\in L$. Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der $K$-linearen Multiplikationsabbildung

${\mu }_f:L⟶L$

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi :{𝔽}_{125}⟶{𝔽}_{125}$

bezüglich einer geeigneten ${𝔽}_5$-Basis von ${𝔽}_{125}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und  $p\ne 0$  ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

1. $p$ ist ein Primelement.
2. $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. $R/(p)$ ist ein Körper.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in $\mathbb{Z}/(11)$ und in $\mathbb{Z}/(121)$. Man gebe ferner ein Element der (multiplikativen) Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in $\mathbb{Z}/(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in ${𝔽}_{121}$?

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien $D_1$ und $D_2$ kommutative Gruppen und seien $D_1^{\vee }$ und $D_2^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper $K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\phi :D_1⟶D_2$

   durch die Zuordnung $\chi \mapsto \chi \circ \phi$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\phi }^{\vee }:D_2^{\vee }⟶D_1^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi :D_2⟶D_3$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   $(\psi \circ \phi {)}^{\vee }={\phi }^{\vee }\circ {\psi }^{\vee }.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

1. Bestimme die Zerlegung von $X^4-7$ in $ℂ$.
2. Bestimme den Zerfällungskörper $L$ von $X^4-7\in \mathbb{Q}[X]$.
3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$. 
4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von $X^4-7$ von der Galoisgruppe herrühren.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${\Phi }_9$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$. 

1. $\mathbb{Z}/(4)$,
2. $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(2)$,
3. $\mathbb{Z}/(2)\times \mathbb{Z}/(4)$,
4. $\mathbb{Z}/(8)$.