Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Aufgabe 4.1 ändern
Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass und für jedes ist.
Aufgabe * Aufgabe 4.2 ändern
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz
entsprechen.
Aufgabe Aufgabe 4.3 ändern
Seien und Gruppen und sei
ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von eine Untergruppe von ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, . Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens
Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an, derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Aufgabe * Aufgabe 4.8 ändern
Es sei eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen
alle verschieden sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
- .
- .
- .
- ().
- .
- ().
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Was ist der Kern dieser Abbildung?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die Matrix
Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von nach und ebenso von nach definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Es sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe für jedes eine invertierbare Matrix an (dabei sei geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von gleich ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement gilt . Zeige, dass die Gruppe dann abelsch ist.
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