Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein - Vektorraum ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne im Körper das Produkt
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in das Inverse von .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine - Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.
Aufgabe * Aufgabe 2.7 ändern
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.
Aufgabe Aufgabe 2.8 ändern
Es sei und es seien die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette
von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, so dass alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über einen Körper bildet.
(Dieser Körper wird mit bezeichnet.)
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die Lösungen der Gleichung
mit der Cardanoschen Formel und drücke diese Lösungen mit Hilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.
Aufgabe Aufgabe 2.14 ändern
Es sei ein Körper, und . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn zwei Lösungen der Gleichung sind und , so ist ihr Quotient eine -te Einheitswurzel.
- Wenn eine Lösung der Gleichung und eine -te Einheitswurzel ist, so ist auch eine Lösung der Gleichung .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in das Inverse von .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine - Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte
eindeutig festgelegt ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass man nicht als - Linearkombination von und schreiben kann.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.