Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 23

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Normale Integritätsbereiche

Definition  

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.



Satz  

Sei ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist normal.

Beweis  

Sei der Quotientenkörper von und ein Element, das die Ganzheitsgleichung

mit erfüllt. Wir schreiben  mit , , wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also und keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass eine Einheit in ist, da dann zu gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit und erhalten in

Wenn keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler von . Dieser teilt alle Summanden für und daher auch den ersten, also . Das bedeutet aber, dass selbst ein Vielfaches von ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.



Satz

Sei ein normaler Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System.

Dann ist auch die Nenneraufnahme normal.

Beweis

Siehe Aufgabe *****.



Definition  

Sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .

Die Normalisierung ist nach Fakt ***** ein Unterring des Quotientenkörpers. Es ist eine nichttriviale Tatsache, dass falls von endlichem Typ über einem Körper ist, dann auch die Normalisierung davon von endlichem Typ ist.



Lemma  

Sei ein normaler Integritätsbereich und . Wenn es ein Element mit gibt, so ist bereits .

Beweis  

Die Voraussetzung bedeutet, dass ganz über ist, da es die Ganzheitsgleichung

erfüllt. Also ist wegen der Normalität.



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