Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 23

Noethersche Moduln

Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring ${}R$ und einen endlich erzeugten ${}R$-Modul jeder ${}R$-Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann heißt ${}M$ noethersch, wenn jeder ${}R$- Untermodul von ${}M$ endlich erzeugt ist.

Für  ${}M=R$  stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die ${}R$-Untermoduln von ${}R$ gerade die Ideale sind.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{3}\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln.

Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn sowohl ${}M_{1}$ als auch ${}M_{3}$ noethersch sind.

Beweis

Es sei zunächst ${}M$ noethersch, und  ${}U\subseteq M_{1}$  ein Untermodul. Dann ist ${}U$ direkt auch ein Untermodul von ${}M$, also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Es sei nun  ${}V\subseteq M_{3}$  ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von ${}V$ in ${}M$ unter der Restklassenabbildung sei ${}{\tilde {V}}$. Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul ${}V$.

Es seien nun die äußeren Moduln ${}M_{1}$ und ${}M_{3}$ noethersch, und sei  ${}U\subseteq M$  ein Untermodul. Es sei  ${}U_{3}\subseteq M_{3}$  der Bild-Untermodul davon. ${}U_{3}$ wird von endlich vielen Elementen ${}s_{1},\ldots ,s_{n}$ erzeugt, und wir können annehmen, dass diese  ${}s_{i}={\overline {r}}_{i}$  die Bilder von Elementen  ${}r_{i}\in U$  sind. Betrachte ${}U\cap M_{1}$. Dies ist ein Untermodul von ${}M_{1}$, und daher endlich erzeugt, sagen wir von ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$, die wir als Elemente in ${}U$ auffassen. Wir behaupten, dass

$r_{1},\ldots ,r_{n},t_{1},\ldots ,t_{k}$

ein Erzeugendensystem von ${}U$ bilden. Es sei dazu  ${}m\in U$  ein beliebiges Element. Dann ist  ${}{\overline {m}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}$  und daher geht das Element ${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}$ rechts auf ${}0$. Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu ${}M_{1}$. Andererseits gehört dieses Element auch zu ${}U$, also zum Durchschnitt ${}M_{1}\cap U$, der ja von den ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ erzeugt wird. Also kann man

${}m-\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}\,$

bzw.  ${}m=\sum _{i=1}^{n}a_{i}r_{i}+\sum _{j=1}^{k}b_{j}t_{j}$  schreiben.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann ist ${}M$ ein noetherscher Modul.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl ${}n$ der Modulerzeuger von ${}M$. Bei  ${}n=0$  liegt der Nullmodul vor. Es sei  ${}n=1$.  Dann gibt es eine surjektive Abbildung ${}R\rightarrow M\cong R/{\mathfrak {a}}$. Nach Lemma 23.2 ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist ${}M$ noethersch.

Es sei nun  ${}n\geq 2$  und die Aussage für kleinere ${}n$ bereits bewiesen. Es sei ${}m_{1},\ldots ,m_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$. Wir betrachten den durch ${}m_{1},\ldots ,m_{n-1}$ erzeugten ${}R$-Untermodul, den wir mit ${}M_{1}$ bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M/M_{1}=:M_{3}\longrightarrow 0.$

Hier wird der linke Modul von $n-1$ Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von ${}m_{n}$, also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Lemma 23.2 ist dann ${}M$ noethersch.

$\Box$

Moduln über einem Hauptidealbereich

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal von höchstens ${}r$ Elementen erzeugt werden kann. Es sei außerdem ${}M$ ein ${}R$- Modul mit ${}n$ Erzeugern.

Dann besitzt jeder Untermodul ${}U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens ${}n\cdot r$ Elementen.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Der Induktionsanfang ${}(n=0)$ ist klar, denn der Nullmodul, der von ${}0$ Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als Untermodul.

Es sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als ${}n$ Elementen erzeugt werden, bewiesen. Es sei ${}U\subseteq M$ ein Untermodul eines Moduls ${}M$ mit ${}n$ Erzeugern ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$.

Wir betrachten ${}M/Rx_{1}$. Es sei ${}p$ die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft ${}\operatorname {kern} p=Rx_{1}$. Der Restklassenmodul ${}M/Rx_{1}$ wird von ${}[x_{2}],\ldots ,[x_{n}]$ erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher ${}p(U)$ ein Erzeugendensystem mit ${}(n-1)\cdot r$ Erzeugern:

$[y_{j}],1\leq j\leq (n-1)\cdot r,$

wobei die ${}y_{j}$ aus ${}U$ gewählt seien.

${}(\operatorname {kern} p)\cap U\subseteq Rx_{1}$ ist ein Untermodul von ${}Rx_{1}\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ und damit gemäß Lemma 15.14 isomorph zu einem Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$. Ein Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ ist bezüglich der kanonischen Projektion das Bild eines Ideals in ${}R$ und für alle Ideale in ${}R$ gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus ${}r$ Elementen. Deshalb kann der Untermodul ${}(\operatorname {kern} p)\cap U$ von ${}r$ Elementen

$z_{1}=c_{1}x_{1},\ldots ,z_{r}=c_{r}x_{1}$

erzeugt werden, wobei die ${}c_{i}$ aus dem Ideal stammen.

Wir behaupten, dass ${}U$ von den ${}z_{i}$, ${}1\leq i\leq r$, und den ${}y_{j}$, ${}1\leq j\leq (n-1)r$, zusammen erzeugt wird. Es sei dazu ${}u\in U$. Dann ist ${}p(u)=\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}p(y_{j})$ und somit ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}\in (\operatorname {kern} p)\cap U.$

Also ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}=\sum _{i=1}^{r}b_{i}z_{i}$

und ${}u$ lässt sich als Linearkombination der angegebenen ${}nr$ Elemente schreiben.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein ${}R$- Modul mit ${}n$ Erzeugern.

Dann besitzt jeder Untermodul ${}U\subseteq M$ ein Erzeugendensystem aus höchstens ${}n$ Elementen.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 23.4.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein endlicher torsionsfreier Modul.

Dann ist ${}M$ frei.

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl ${}n$ der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für ${}n=0$ gibt es nur den Nullmodul, der trivialerweise frei ist.

Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei ${}M=Ax_{1}+\ldots +Ax_{n}$ torsionsfrei.

Sind die Erzeuger ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig, so handelt es sich um eine Basis und wir sind fertig.

Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation ${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$, wobei o.B.d.A. ${}a_{1}\neq 0$ ist. Es sei ${}m\in M$ ein beliebiges Element mit einer Darstellung ${}m=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}a_{1}m&=b_{1}a_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=-b_{1}(a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n})+b_{2}a_{1}x_{2}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x_{2}+\cdots +(b_{n}a_{1}-b_{1}a_{n})x_{n}\end{aligned}}$

${}a_{1}M$ liegt daher im von ${}x_{2},\ldots ,x_{n}$ erzeugten Untermodul ${}M'=Rx_{2}+\ldots +Rx_{n}$. Weil ${}M$ torsionsfrei ist, ist ${}a_{1}M$ isomorph zu ${}M$ und hat als Untermodul von ${}M'$ nach Lemma 23.5 ein Erzeugendensystem aus ${}n-1$ Erzeugern. Daher ist ${}a_{1}M$ nach Induktionsvoraussetzung frei.

$\Box$

<< | Kurs:Kommutative Algebra/Teil I | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)