Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 22

Die universelle Eigenschaft der Determinante

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Es seien ${}\psi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine alternierende Abbildung, ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in M$ und ${}\pi \in S_{n}$ , der Permutationsgruppe der Menge ${}\{1,\ldots ,n\}$ .

Dann ist

${}\psi (v_{\pi (1)},\ldots ,v_{\pi (n)})=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$

Beweis

Nach Lemma 8.13 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)) lässt sich ${}\sigma$ als Produkt von Transpositionen ${}\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ schreiben, sagen wir ${}\sigma =\prod _{i=1}^{k}\tau _{i}$ . In Lemma 21.9 wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen ${}\tau \in S_{n}$

{}\psi (x_{\tau (1)},\ldots ,x_{\tau (n)})=-\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {sgn} (\tau )\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\,

gilt.

Das führt für ${}\sigma$ durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:

{}{\begin{aligned}\psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})&=\psi (x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\operatorname {sgn} (\tau _{1})\cdot \psi (x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

Mit Lemma 9.12 (Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)) ergibt sich ${}\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})=(-1)^{k}=\operatorname {sgn} (\sigma )$ und damit die Aussage.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei

\psi \colon M^{n}\longrightarrow N

eine alternierende Abbildung und es seien Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n},w_{1},\ldots ,w_{n}\in V$ gegeben, die zueinander in der Beziehung

{}{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

stehen, mit einer ${}n\times n$ - Matrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ .

Dann ist

${}\psi \left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )b_{1\pi (1)}\cdots b_{n\pi (n)}\psi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\,.$

Beweis

Unter Verwendung des Distributivgesetzes und von Lemma 22.1 ergibt sich

{}{\begin{aligned}\psi \left(w_{1},\,\ldots ,\,w_{n}\right)&=\psi \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}v_{j},\,\ldots ,\,\sum _{j=1}^{n}a_{nj}v_{j}\right)\\&=\sum _{\left(j_{1},\,\ldots ,\,j_{n}\right)}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{ij_{i}}\right)}\psi \left(v_{j_{1}},\,\ldots ,\,v_{j_{n}}\right)\\&=\sum _{\left(j_{1},\,\ldots ,\,j_{n}\right),j_{r}\neq j_{s}}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{ij_{i}}\right)}\psi \left(v_{j_{1}},\,\ldots ,\,v_{j_{n}}\right)\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\psi \left(v_{\pi (1)},\,\ldots ,\,v_{\pi (n)}\right)\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\psi \left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n}\right).\end{aligned}}

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Satz

Für die Determinante einer ${}n\times n$ - Matrix

{}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,

gilt

${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 21.4, Satz 21.10, Satz 21.11 und Satz 22.2.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gibt es genau eine alternierende Funktion

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(R)=(R^{n})^{n}\longrightarrow R$

mit

${}\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1\,,$

wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

Beweis

Aufgrund von Lemma 21.4, Satz 21.10 und Satz 21.11 besitzt die Determinante diese Eigenschaften. Wegen Satz 22.2 und Satz 22.3 muss eine multilineare alternierende Funktion, die auf den Standardvektoren den Wert ${}1$ besitzt, mit der Determinante übereinstimmen.

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Multiplikativität

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B\in R^{n\times n}$ .

Dann ist

${}\det A\cdot B=\det A\cdot \det B\,.$

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}\det A\det B&={\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}\cdot {\left(\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{j=1}^{n}b_{j,\tau (j)}\right)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)},\end{aligned}}

da für ${}\tau ,\sigma \in S_{n}\colon \tau \mapsto \tau \circ \sigma :=\lambda$ bijektiv ist ergibt sich:

{}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\tau \circ \sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}.\end{aligned}}

Andererseits ist

{}{\begin{aligned}\det \left(A\cdot B\right)&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{j\pi (i)}\right)}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}\\&=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)},\end{aligned}}

wobei ${}j,i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in {\{1,\ldots ,n\}}^{n}$ alle möglichen Kombinationen durchläuft. Sind im Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ zwei Komponenten gleich, so ist:

{}{\begin{aligned}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}b_{j_{i},\pi (i)}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\det {\left(b_{j_{i},s}\right)}_{s\in \{1,...,n\}}\\&=0,\end{aligned}}

denn in ${}b_{j_{i},s}$ sind zwei Zeilen gleich.

Und somit letztendlich:

{}\det \left(A\circ B\right)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\pi (i)}=\det A\cdot \det B\,.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ eine invertierbare Matrix.

Dann ist ${}\det A$ eine Einheit in ${}R$ , und es gilt ${}{\left(\det A\right)}^{-1}=\det \left(A^{-1}\right)$ .

Beweis

Es sei ${}A^{-1}\in R^{n\times n}$ die Matrix mit der Eigenschaft, dass

{}A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n}\,

ist. Es gilt:

{}1=\operatorname {det} (E_{n})=\operatorname {det} (A\cdot A^{-1})=\operatorname {det} (A)\cdot \operatorname {det} (A^{-1})\,.

Somit ist ${}\operatorname {det} (A^{-1})\in R$ das Inversezu ${}\operatorname {det} (A)$ .

${}\operatorname {det(A)}$ ist also eine Einheit.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}R$ .

Dann ist

${}\det M=\det {M^{\text{tr}}}\,.$

Beweis

Determinante/Kommutativer Ring/Transponierte einer Matrix/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}R$ . Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$ -te Zeile und die ${}j$ -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$ )

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

Beweis

Determinante/Kommutativer Ring/Entwicklungssatz/Fakt/Beweis

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Die Determinante einer linearen Abbildung

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung eines endlich erzeugten freien Moduls vom Rang ${}n$ in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen ${}M$ und ${}N$ und der Basiswechselmatrix ${}B$ aufgrund von Korollar 20.6 die Beziehung ${}N=BMB^{-1}$ . Aufgrund des des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher

{}\det N=\det \left(BMB^{-1}\right)=(\det B)(\det M){\left(\det B^{-1}\right)}=(\det B){\left(\det B^{-1}\right)}(\det M)=\det M\,,

sodass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}V$ ein endlich erzeugter freier Modul über ${}R$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Modulhomomorphismus, der bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Dann nennt man

{}\det \varphi :=\det M\,

die Determinante von ${}\varphi$ .

Adjungierte Matrix und Cramersche Regel

Definition

Zu ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ heißt die Matrix

{}A^{\operatorname {adj} }={\left((a_{i,j}')_{1\leq ,i,j\leq n}\right)}^{tr}\,

die zu ${}A$ adjungierte Matrix .

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ . Weiter sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die zu ${}A$ adjungierte Matrix.

Dann ist

${}A^{\operatorname {adj} }\cdot A=A\cdot A^{\operatorname {adj} }=E_{n}\cdot \det A\,.$

Beweis

Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von ${}Adj(A)\cdot A$ berechnet:

{}{\begin{aligned}(Adj(A)\cdot A)_{ik}&=\sum _{j=1}^{n}Adj(A)_{ij}\cdot a_{jk}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (A_{ji})\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{k},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\delta _{ik}det(A).\end{aligned}}

Es ist also

{}Adj(A)\cdot A=\operatorname {det} (A)\cdot E_{n}\,.

Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für ${}x_{j}$ durch ${}x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$ .

Beweis

Für eine invertierbare Matrix ${}M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem ${}Mx=c$ , indem man ${}M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist ${}x=M^{-1}c$ . Unter Verwendung von Satz 22.11 bedeutet dies ${}x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$ . Für die ${}j$ -te Komponente bedeutet dies

{}x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der ${}j$ -ten Spalte.

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Beispiel

Wir lösen das lineare Gleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,

mit Hilfe der Cramerschen Regel. Es ist

{}x_{1}={\frac {\det {\begin{pmatrix}2&3\\7&5\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}=-{\frac {11}{23}}\,

und

{}x_{2}={\frac {\det {\begin{pmatrix}4&2\\-1&7\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}}}={\frac {30}{23}}\,.

Invertierbare Matrizen und Determinante

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$ .

Dann sind äquivalent.

${}A$ ist eine invertierbare Matrix.

${}\operatorname {det} (A)$ ist eine Einheit in ${}R$ .

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2) wurde bereits in Korollar 22.6 bewiesen.

(2) ${}\Rightarrow$ (1) Da ${}\operatorname {det} (A)$ eine Einheit in ${}R$ ist, gibt es ein ${}y\in R$ mit der Eigenschaft ${}\operatorname {det} (A)y=1$ .

Die Matrix ${}A^{-1}:=\operatorname {Adj} (A)y$ erfüllt nach Satz 22.11 die Eigenschaft, dass ${}A\cdot A=E_{n}$ sei. Dies ergibt sich aus:

{}A\cdot A^{-1}=A\cdot (Adj(A)y)=(A\cdot Adj(A))y=E_{n}det(A)y=E_{n}\,.

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Satz

Es sei ${}M$ ein freier Modul über dem kommutativen Ring ${}R$ . Weiter sei ${}f\colon M\rightarrow M$ ein ${}R$ - Modulendomorphismus und ${}A$ die Matrix, die ${}f$ bezüglich einer beliebigen Basis darstellt.

Es ist ${}f$ bijektiv, also ein ${}R$ - Modulautomorphismus genau dann, wenn ${}\det(A)$ eine Einheit in ${}R$ ist.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Es ist ${}\det M\neq 0$ .

Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.

${}M$ ist invertierbar.

Es ist ${}\operatorname {rang} \,M=n$ .

Beweis

Korollar 22.14

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Satz

Es sei ${}\Psi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine multilineare Abbildung.

Dann ist

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi \circ \sigma$

alternierend.

Mit folgender Interpretation von ${}\Psi \circ \sigma$ :

{}(\Psi \circ \sigma )(x_{1},\ldots ,x_{n})=\Psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\,.

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M^{n}$ mit ${}x_{r}=x_{s}$ für ${}r\neq s$ .

Es ist zu zeigen, dass ${}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})=0$ ist. Es sei hierzu ${}\tau$ die Transposition, die ${}r$ und ${}s$ tauscht.