Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 22

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal von ${}R$ ist.

Dann gibt es einen Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}{\mathfrak {m}}^{n}=0\,.$

Beweis

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in ${}R$ eine Einheit oder nilpotent ist. Es sei hierzu ${}f\in R$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$. Angenommen, ${}f$ ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Lemma 11.9 ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. Damit ergibt sich der Widerspruch ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {m}}$.

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von ${}{\mathfrak {m}}$ eine natürliche Zahl ${}m$ mit $f_{i}^{m}=0$ für alle $i=1,\ldots ,k$. Sei ${}n=km$. Dann ist ein beliebiges Element aus ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ von der Gestalt

${\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i1}f_{i}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i2}f_{i}\right)}\cdots {\left(\sum _{i=1}^{k}a_{in}f_{i}\right)}.$

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen $f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{k}^{r_{k}}$ und $\sum _{i=1}^{k}r_{i}=n$, sodass ein ${}f_{i}$ mit einem Exponenten ${}\geq n/k=m$ vorkommt. Daher ist das Produkt ${}0$.

$\Box$

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Wenn ${}R=K$ ein Körper und ${}S$ eine ${}K$-Algebra ist, so ist ${}x\in S$ algebraisch über ${}K$ genau dann, wenn es ganz über ${}K$ ist. Dies stimmt aber im Allgemeinen nicht, siehe Aufgabe *****.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.

${}S$ ist genau dann ganz über ${}R$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}S$ ist.

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${}x$ erzeugte ${}R$-Unteralgebra ${}R[x]$ von ${}S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${}x$ mit Koeffizienten aus ${}R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$

ergibt sich

${}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$

Man kann also ${}x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${}x^{i}$ kann man jede Potenz von ${}x$ mit einem Exponenten ${}\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${}\leq n-1$ ersetzen. Damit ist

${}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$

und die Potenzen ${}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von ${}T=R[x]$.

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Sei ${}x\in T\subseteq S$, ${}T$ eine ${}R$-Unteralgebra, die als ${}R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist ${}xT\subseteq T$, und ${}T$ enthält den Nichtnullteiler ${}1$.

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Sei ${}M\subseteq S$ ein endlich erzeugter ${}R$-Untermodul mit ${}xM\subseteq M$. Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}xy_{i}$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet

${}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit ${}r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,

${}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}S$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle ${}z\in M$. Da ${}M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss ${}\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}x$ vom Grad ${}n$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}S$.

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus ${}R$ ganz über ${}R$ ist. Seien ${}x_{1}\in S$ und ${}x_{2}\in S$ ganz über ${}R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche ${}R$-Unteralgebren ${}T_{1},T_{2}\subseteq S$ mit ${}x_{1}\in T_{1}$ und ${}x_{2}\in T_{2}$. Es sei ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{1}$ und ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{2}$. Wir können annehmen, dass ${}y_{1}=z_{1}=1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten ${}R$-Modul

${}T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$

der offensichtlich ${}x_{1}+x_{2}$ und ${}x_{1}x_{2}$ (und ${}1$) enthält. Dieser ${}R$-Modul ${}T$ ist auch wieder eine ${}R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

${}{\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$

und für die Produkte gilt ${}y_{i}y_{k}\in T_{1}$ und ${}z_{j}z_{l}\in T_{2}$, sodass diese Linearkombination zu ${}T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von ${}S$, der ${}R$ enthält. Also liegt eine ${}R$-Unteralgebra vor.

$\Box$

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

Beweis

Sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$ und ${}q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung

${}q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$

mit ${}r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben ${}q=a/b$ mit ${}a,b\in R$, ${}b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass ${}b$ eine Einheit in ${}R$ ist, da dann ${}q=ab^{-1}$ zu ${}R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit ${}b^{n}$ und erhalten in ${}R$

${}a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$

Wenn ${}b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler ${}p$ von ${}b$. Dieser teilt alle Summanden ${}{\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für ${}i\geq 1$ und daher auch den ersten, also ${}a^{n}$. Das bedeutet aber, dass ${}a$ selbst ein Vielfaches von ${}p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

$\Box$

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