Kurs:Lineare Algebra/Teil I/18/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	4	5	10	4	3	5	3	3	5	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Heinz Ngolo und Mustafa Müller wollen wissen, wie viele Kaulquappen sich im Teich im Wald befinden. Der Teich ist einen Meter tief und ist quadratisch mit einer Seitenlänge von zehn Metern, die Kaulquappen sind darin gleichmäßig verteilt. Heinz hat eine Teekanne dabei, in die ein halber Liter Wasser hineinpasst. Sie trinken den Tee leer und füllen die Kanne mit Teichwasser. Sie zählen, dass in der Kanne genau ${}23$ Kaulquappen sind und schütten alles zurück. Wie viele Kaulquappen befinden sich im Teich?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(8)\,\,\,(r+s)u=ru+su$

erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis eines ${}K$- Vektorraumes ${}V$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ von ${}0$ verschiedene Elemente.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=a_{1}v_{1},a_{2}v_{2},a_{3}v_{3},\ldots ,a_{n}w_{n}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots \\n\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\2^{2}\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}$ besitzt.

Aufgabe * (10 (1+3+1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}M$ der reelle Vektorraum aller ${}n\times n$- Matrizen.

a) Zeige, dass die Menge ${}S$ der symmetrischen ${}n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

b) Bestimme die Dimension von ${}S$.

c) Zeige, dass die Menge ${}A$ der antisymmetrischen ${}n\times n$-Matrizen ein Untervektorraum von ${}M$ ist.

d) Bestimme die Dimension von ${}A$.

e) Schreibe die Matrix

${\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}}$

als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix.

f) Zeige, dass ${}M$ die direkte Summe aus ${}S$ und ${}A$ ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}3x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}4x-3y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{7}-3X^{6}+4X^{4}+5X^{3}+7X^{2}-4X+5$

die Variable ${}X$ durch die ${}3\times 3$- Matrix

${\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\chi _{\varphi }\in \mathbb {R} [X]$ das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem reellen Vektorraum ${}V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ bestimmen?

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension der Haupträume.