Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 2 6 3 2 14 4 8 5 5 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Norm in einem -Vektorraum .
  2. Eine lineare Isometrie zwischen -Vektorräumen und mit Skalarprodukt.
  3. Ein Minkowski-Raum.
  4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element in einer Menge mit einer Äquivalenzrelation .
  5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Eine spaltenstochastische Matrix.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des einen Eigenvektor zum Eigenwert besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Automorphismengruppe .


Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf die Relation

a) Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ein äquivalentes Paar mit gibt.

c) Es sei die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

Zeige, dass injektiv ist.

d) Definiere auf (aus Teil c) eine Verknüpfung derart, dass mit dieser Verknüpfung und mit als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung die Beziehung

für alle gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Es sei , , eine Basis von und , , eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Gesamtfamilie , genau dann eine Basis von ist, wenn , , eine Basis des Restklassenraumes ist.


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei das Quadrat im mit den Eckpunkten .

  1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen -Vektorraumes und es sei

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

Zeige, dass genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl als auch asymptotisch stabil sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in das Tensorprodukt


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit dem Dualraum . Zeige, dass es eine Linearform

gibt, die auf abbildet.