- Übungsaufgaben
Wir erinnern an die beiden folgenden Aufgaben.
Es sei ein
Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige
Vektorraum.
Zeige, dass
-
ein
Untervektorraum
von ist.
Zu jedem sei durch
-
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als
Linearkombination
der Familie
, ,
darstellen lässt.
Es sei ein
Körper und seien und Mengen. Zeige, dass durch eine
Abbildung
-
eine
lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
Es sei ein
Körper und seien und Mengen. Es sei
-
eine
Abbildung.
a) Zeige, dass durch eine
lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
b) Es habe nun zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche
Fasern
endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung
-
festgelegt ist.
Es sei ein
Körper
und seien
und
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
-
mit
-
multilinear
ist.
Zeige, dass im Allgemeinen in einem
Tensorprodukt
nicht jeder Vektor von der Form ist.
Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei der
Dualraum
zu . Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine
multilineare Abbildung
-
b) Es gibt eine
lineare Abbildung
-
die auf die lineare Abbildung abbildet.
c) Wenn
und
endlichdimensional
sind, so ist aus Teil (b) ein
Isomorphismus.
Es sei ein
Körper und seien
Vektorräume
über , auf denen jeweils eine
Bilinearform
fixiert sei. Zeige, dass auf den
Tensorprodukt
eine Bilinearform gegeben ist, für die
-
gilt.
Der sei mit der
Minkowski-Standard-Form
versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf .
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Berechne in das
Tensorprodukt
-
Es sei ein
Körper und seien
Vektorräume
über . Stifte eine
lineare Abbildung
-
die auf abbildet.