Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 54

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.

Aufgabe

Diskutiere in der Situation von Beispiel 54.2 die Spezialfälle

1.  $p_1=1$  und  $p_2=1$, 
2.  $p_1=1$  und  $p_2=0$, 
3.  $p_1=0$  und  $p_2=1$, 
4.  $p_1=0$  und  $p_2=0$, 
5.  $p_1=p_2$, 
6.  $p_1=p_2=\frac{1}{2}$. 

Aufgabe *

Finde einen Eigenvektor zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ 1-p_1& 1-p_2\end{array}\right)$

mit

$0\le p_1,p_2\le 1$

zum Eigenwert $p_1-p_2$. Handelt es sich um eine Eigenverteilung?

Aufgabe *

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}p& 0& 1-r\\ 1-p& q& 0\\ 0& 1-q& r\end{array}\right)$

mit  $0\le p,q,r\le 1$. 

a) Berechne die Eigenwerte der Matrix.

b) Berechne eine Eigenverteilung.

Aufgabe *

Wir betrachten eine stochastische Matrix, bei der jede Spalte gleich $\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ ⋮\\ p_n\end{array}\right)$ ist. Bestimme die Eigenverteilung und eine Basis des Kerns zu dieser Matrix.

Aufgabe

Man interpretiere eine Permutationsmatrix als eine stochastische Matrix. Was sind die Eigenverteilungen?

Aufgabe

Was bedeutet es für eine spaltenstochastische Matrix, dass in einer Zeile alle Einträge positiv sind, und was bedeutet es, dass in einer Spalte alle Einträge positiv sind?

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen in der Sphäre zum Radius $1$ bezüglich der Spaltensummennorm enthalten ist. Gilt hierbei Gleichheit?

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Konzepte Relation auf einer Menge $M$ (im Sinne von Definition 45.1, wobei die beiden beteiligten Mengen gleich sein mögen) und gerichteter Graph (im Sinne eines Pfeildiagrammes, wobei es von einem Punkt zu einem weiteren Punkt maximal einen Pfeil geben darf) mathematisch äquivalent sind.

Aufgabe *

Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.

Aufgabe

Welche Besonderheiten zeichnet eine Adjazenzmatrix zu einer Äquivalenzrelation aus?

Aufgabe

Drücke für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm (einen gerichteten Graphen) und durch eine Adjazenzmatrix aus.

Aufgabe

Erstelle für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die stochastische Matrix, die sich aus der erweiterten Adjazenzmatrix zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen (Selbstsieg) stehen (damit keine Nullspalte auftritt). Wie lautet die zugehörige Eigenverteilung?

Aufgabe

In einer Fußballgruppe mit $n$ Mannschaften (beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde) spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer $n\times n$-Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle $(M,N)$ angibt, wie viele Punkte die Mannschaft $M$ im Spiel gegen $N$ erzielt hat (an der Stelle $(M,M)$ steht $0$). Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$ anwendet? Erstelle diese Matrix für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016.

Aufgabe

Bei Studierenden verschiedender Fächer wurden von einem Semester zum nächsten folgende Wanderungsbewegungen statistisch festgestellt:

a) Wer Mathematik studiert, bleibt zu $60\mathrm{\%}$ bei der Mathematik, wechselt zu $10\mathrm{\%}$ zur Philosophie, zu $10\mathrm{\%}$ zur Physik und nimmt sich zu $20\mathrm{\%}$ ein Freisemester.

b) Wer Philosophie studiert, bleibt zu $40\mathrm{\%}$ bei der Philosophie, wechselt zu $10\mathrm{\%}$ zur Mathematik, zu $20\mathrm{\%}$ zur Physik und nimmt sich zu $30\mathrm{\%}$ ein Freisemester.

c) Wer Physik studiert, bleibt zu $50\mathrm{\%}$ bei der Physik, wechselt zu $30\mathrm{\%}$ zur Mathematik und nimmt sich zu $20\mathrm{\%}$ ein Freisemester.

d) Wer ein Freisemester eingelegt hat, bleibt zu $40\mathrm{\%}$ beim Freisemester und wechselt jeweils zu $20\mathrm{\%}$ zur Mathematik, zur Philosophie oder zur Physik.

1. Erstelle eine stochastische Matrix, die diese Wanderungsbewegungen darstellt.
2. Durch welche Matrix wird die Wanderungsbewegung vom dritten zum sechsten Semester beschrieben?
3. Die Erstsemester fangen zu einem Drittel mit den Studienfächern Mathematik, Philosophie oder Physik an. Wie groß ist der Anteil der Studierenden, die in ihrem vierten Semester ein Freisemester einlegen?

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$

zu den Startverteilungen

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{ und }\left(\begin{array}{c}\frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne die ersten vier Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right)$

zur Startverteilung

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Aufgabe *

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{2}{3}& \frac{3}{4}\end{array}\right).$

Bestimme das minimale $n$ derart, dass in der $n$-ten Potenz $M^n$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte $\le \frac{1}{1000}$ bezüglich der Maximumsnorm des ${ℝ}^2$ ist.

Aufgabe *

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5,6$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich $\frac{1}{3}$. Erstelle die zugehörige stochastische Matrix und berechne die Eigenverteilung(en).

Aufgabe

Es sei $M$ eine spaltenstochastische $n\times n$-Matrix. Zeige direkt, dass $1$ ein Eigenwert von $M$ ist.

Aufgabe

Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen $a_1,a_2,\dots ,a_n$ die Gleichheit

$|\sum _{i=1}^n{a}_i|=\sum _{i=1}^n|a_i|?$

Aufgabe *

Es sei $M$ eine $n\times n$-spaltenstochastische Matrix und sei

$U=\{\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)\mid \sum _{i=1}^n{u}_i=0\}\subseteq {ℝ}^n.$

a) Zeige, dass $U$ invariant unter $M$ ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung $M{|}_U$ stabil ist.

c) Zeige, dass die Einschränkung $M{|}_U$ nicht asymptotisch stabil sein muss.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix, bei der eine Zeile ausschließlich aus positiven Einträgen bestehe. Zeige, dass die Folge $M^n$ gegen eine Matrix $N$ konvergiert, bei der jede Spalte gleich ist.

Aufgabe *

Wir wollen Aussagen über die Determinante einer spaltenstochastischen $d\times d$-Matrix machen.

a) Zeige, dass für die Determinante einer spaltenstochastischen Matrix $M$ die Beziehung

$|detM|\le 1$

gilt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine spaltenstochastische Matrix, die nicht die Einheitsmatrix sei, mit

$|detM|=1$

c) Es sei  $d\ge 2$  und $M$ besitze zusätzlich die Eigenschaft, dass es eine Zeile mit ausschließlich positiven Einträgen gebe. Zeige

$|detM|<1$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der spaltenstochastischen Matrizen eine abgeschlossene Teilmenge im Matrizenraum ${\mathrm{Mat}}_n(ℝ)$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die ersten vier Iterationen zur spaltenstochastischen Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{2}{7}\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{10}& \frac{8}{21}\end{array}\right)$

zur Startverteilung

$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Eigenverteilung zur spaltenstochastischen Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{2}{7}\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{10}& \frac{8}{21}\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Produkt von zwei spaltenstochastischen Matrizen wieder spaltenstochastisch ist. Ist die inverse Matrix zu einer invertierbaren spaltenstochastischen Matrix wieder spaltenstochastisch?

Aufgabe (8 Punkte)

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?