Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das Polynom

$(3X^2-5X+4)\cdot (X^3-6X^2+1)-(4X^3+2X^2-2X+3)\cdot (-2X^2-5X)$

im Polynomring $\mathbb{Q}[X]$.

Aufgabe

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^2-3X+9\mathrm{i})\cdot ((-3+7\mathrm{i})X^2+(2+2\mathrm{i})X-1+6\mathrm{i}).$

Aufgabe *

Zeige, dass der Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $\mathrm{grad}(P+Q)\le max\{\mathrm{grad}(P),\mathrm{grad}(Q)\}.$

2. $\mathrm{grad}(P\cdot Q)=\mathrm{grad}(P)+\mathrm{grad}(Q).$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper $K$ gilt: Wenn  $P,Q\in K[X]$  beide ungleich $0$ sind, so ist auch  $PQ\ne 0$. 

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2-4X+7$

die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5\mathrm{i}$ ersetzt.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶K,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien  $P,Q\in K[X]$ ).

1. $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a).$

2. $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a).$

3. $1(a)=1.$

Aufgabe

Schreibe das Polynom

$X^3+2X^2-3X+4$

in der neuen Variablen  $U=X+2$. 

Aufgabe *

Es seien die beiden komplexen Polynome

$P=X^3-2\mathrm{i}{X}^2+4X-1\text{ und }Q=\mathrm{i}X-3+2\mathrm{i}$

gegeben. Berechne $P(Q)$ (es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden).

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Der Körper $\mathbb{Z}/(7)$ wurde in Beispiel 3.9 vorgestellt.

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Z}/(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=5X^4+3X^3+5X^2+3X+6$ und $T=3X^2+6X+4$ durch.

In den folgenden Aufgaben geht es um die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung  $3x^2-6x+2=0$  über $ℝ$.

Aufgabe

Löse die reelle quadratische Gleichung  $\frac{3}{4}{x}^2+\frac{2}{7}x-\frac{4}{5}=0$  durch quadratisches Ergänzen.

Aufgabe *

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Aufgabe *

Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Aufgabe *

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

$f(x)=x^2-3x+\frac{4}{3}.$

Analytische Konzepte wie die Ableitung sollen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung  $x^4+7x^2-11=0$  über $ℝ$.

Aufgabe *

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

$P=X^3+4X^2-7X+1$

und

$Q=X^3-2X^2+5X+3.$

Aufgabe

Beweise die Formel

$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3}+\cdots +X^2+X+1).$

Aufgabe *

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

$X^3-1$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $ℝ[X]$ und in $ℂ[X]$ an.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei  $z\in ℂ$  eine Nullstelle von $P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl $\bar{z}$ eine Nullstelle von $P$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, eine Produktzerlegung

$P=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}\cdot Q$

mit  ${\mu }_j\ge 1$  und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ und die zugehörigen Exponenten ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $P=X^n\in K[X]$  mit  $n\ge 1$.  Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von $P$ die Form $X^k$, $1\le k\le n$, besitzen.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$ und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein Teiler von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors $X-a$ in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom vom Grad  $d\ge 1$,   $P\ne X$.  Zeige, dass $P$ maximal $d$ Fixpunkte besitzt.

Aufgabe *

Es seien $P$ und $Q$ verschiedene normierte Polynome vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Aufgabe *

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit  $d>0$  eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit  $0\le r<d$  und mit

$n=dq+r$

gibt.

Aufgabe

Es sei  $F\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe *

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

$ℂ⟶ℂ,z⟼P(z),$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei $K[X]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Zeige, dass die Menge

$\{\frac{P}{Q}\mid P,Q\in K[X],Q\ne 0\},$

wobei zwei Brüche $\frac{P}{Q}$ und $\frac{P^{\prime }}{Q^{\prime }}$ genau dann als gleich gelten, wenn  $P{Q}^{\prime }=P^{\prime }Q$  ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen $f\circ g$ und $g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)=\frac{2x^2-4x+3}{x-2}\text{ und }g(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.$

Aufgabe *

Es seien

$f,g,h:ℝ⟶ℝ$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

$(h\cdot g)\circ f=(h\circ f)\cdot (g\circ f).$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

$(h\circ g)\cdot f=(h\cdot f)\circ (g\cdot f)$

nicht gelten muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^3-\mathrm{i}{X}^2+2X+3+2\mathrm{i})\cdot ((2-\mathrm{i})X^3+(3-5\mathrm{i})X^2+(2+\mathrm{i})X+1+5\mathrm{i}).$

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $ℂ[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(5+\mathrm{i})X^4+\mathrm{i}{X}^2+(3-2\mathrm{i})X-1$ und $T=X^2+\mathrm{i}X+3-\mathrm{i}$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in $\mathbb{Z}/(7)[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=6X^4+2X^3+4X^2+2X+5$ und $T=5X^2+3X+2$ durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\cdots +X^2-X+1)$

für $u$ ungerade.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

$P=X^3+8X^2-8X+3$

und

$Q=X^3-5X^2+4X+7.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad $1$ oder $2$ schreiben kann.

Die Aufgabe zum Aufgeben

Aufgabe (7 Punkte)

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\mathbb{N}$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert $P(n_1),P(n_2),\dots ,P(n_r)$ zu gewissen natürlichen Zahlen $n_1,n_2,\dots ,n_r$ ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.