Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.
a)  $(\mathbb{Z},0,+)\subseteq (ℝ,0,+)$. 
b)  $(\mathbb{Q},0,+)\subseteq (ℝ,0,+)$. 
c)  $(ℝ,0,+)\subseteq (ℂ,0,+)$. 
d)  $(\mathbb{Z}d,0,+)\subseteq (\mathbb{Z},0,+)$  (zu $d\in \mathbb{N}$).
e)  $(\{z\in ℂ\mid |z|=1\},1,\cdot )\subseteq (ℂ\setminus \{0\},1,\cdot )$. 
f)  $(\{z\in ℂ\mid z^n=1\},1,\cdot )\subseteq (\{z\in ℂ\mid |z|=1\},1,\cdot )$  (zu $n\in \mathbb{N}$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?

Aufgabe

Wir betrachten die Permutationsgruppe $S_4$ mit der Untergruppe $H$, die vom Dreierzyklus $a\mapsto b,b\mapsto c,c\mapsto a$ erzeugt wird. Bestimme die Links- und die Rechtsnebenklassen zu dieser Untergruppe.

Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe $G$ der invertierbaren $2\times 2$-Matrizen über dem Körper $\mathbb{Z}/(3)$ mit $3$ Elementen und die Untergruppe $H$, die aus allen invertierbaren Matrizen mit Determinante $1$ besteht. Welche der folgenden Matrizen sind untereinander äquivalent (bezüglich $H$), welche nicht?

$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H_1,H_2\subseteq H$  Untergruppen mit den zugehörigen Äquivalenzrelationen ${\sim }_1$ bzw. ${\sim }_2$. Zeige, dass die Äquivalenzrelation zu  $H=H_1\cap H_2$  der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p$. Zeige, dass $G$ eine zyklische Gruppe ist.

Aufgabe

Endliche zyklische Gruppe/Untergruppe/Ist zyklisch/Fakt/Beweis/Aufgabe

Aufgabe *

Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element  $g\in G$  eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^0=e_G,g^1=g,g^2,\dots ,g^{\mathrm{ord}(g)-1}$

alle verschieden sind.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $p$ Elementen, wobei $p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass $R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Bestimme die Untergruppen von $\mathbb{Z}/(15)$.

Aufgabe

Es sei  $G=S_3$  die Permutationsgruppe zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als Ordnungen von Untergruppen und welche als Ordnungen von Elementen auf?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$,  es sei ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

${\mathrm{SL}}_n\left(K\right)\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante $1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu  $M\in {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit $detM$ übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ${\mathrm{SL}}_n\left(K\right)$ ein Normalteiler in ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ ist.

Aufgabe *

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${\phi }^{-1}(N)$ eines Normalteilers  $N\subseteq H$  ein Normalteiler in $G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern $N_i$, $i\in I$, in einer Gruppe $G$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von $\phi$ ein Normalteiler in $H$?

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in $ℂ$ und die Gruppe $\mathbb{Z}/(n)$ isomorph sind.

Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.

Es seien $G_0,\dots ,G_n$ Gruppen und $f_i:G_{i-1}\to G_i$ Gruppenhomomorphismen derart, dass  $\mathrm{kern}{f}_{i+1}=\mathrm{bild}{f}_i$  für  $i=1,\dots ,n$  gilt. Dann heißt

$G_0\to G_1\to \dots \to G_{n-1}\to G_n$

eine exakte Sequenz von Gruppen.

Aufgabe

Es sei

$G_0\to G_1\to \dots \to G_{n-1}\to G_n$

eine exakte Sequenz von Gruppen, wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und  $G_0=G_n$  die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann

$\prod _{i=0}^n{\mathrm{\#}\left(G_i\right)}^{(-1{)}^i}=1$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Untergruppen von $\mathbb{Z}/(20)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine Permutation auf $M$ und  $x\in M$.  Zeige, dass $\{n\in \mathbb{Z}\mid {\sigma }^n(x)=x\}$ eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${\mathrm{ord}}_x\sigma$. Zeige die Beziehung

$\mathrm{ord}(\sigma )=\mathrm{kgV}\{{\mathrm{ord}}_x\sigma \mid x\in M\}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild $\phi (N)$ eines Normalteilers  $N\subseteq G$  ein Normalteiler in $H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe $G$ ein Normalteiler in $G$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $G$ eine Gruppe und sei $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

$\phi :G⟶M$

eine surjektive Abbildung mit  $\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)$  für alle  $g,h\in G$.  Zeige, dass $M$ eine Gruppe und $\phi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von Untergruppen  $F\subseteq G\subseteq H$  an derart, dass $F$ ein Normalteiler in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.