Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 46

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

1. ${}(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
2. ${}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
3. ${}(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)$.
4. ${}(\mathbb {Z} n,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)$ (${}n\in \mathbb {N}$).
5. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )$.
6. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )$ (${}n\in \mathbb {N}$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?

Aufgabe

Wir betrachten die Permutationsgruppe ${}S_{4}$ mit der Untergruppe ${}H$, die vom Dreierzyklus ${}a\mapsto b,\,b\mapsto c,\,c\mapsto a$ erzeugt wird. Bestimme die Links- und die Rechtsnebenklassen zu dieser Untergruppe.

Aufgabe

Wir betrachten die Gruppe ${}G$ der invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(3)$ mit ${}3$ Elementen und die Untergruppe ${}H$, die aus allen invertierbaren Matrizen mit Determinante ${}1$ besteht. Welche der folgenden Matrizen sind untereinander äquivalent (bezüglich ${}H$), welche nicht?

${\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\2&2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}},\,$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H_{1},H_{2}\subseteq H$ Untergruppen mit den zugehörigen Äquivalenzrelationen ${}\sim _{1}$ bzw. ${}\sim _{2}$. Zeige, dass die Äquivalenzrelation zu ${}H=H_{1}\cap H_{2}$ der Durchschnitt der beiden Äquivalenzrelationen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}G$ eine Gruppe der Ordnung ${}p$. Zeige, dass ${}G$ eine zyklische Gruppe ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

alle verschieden sind.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Bestimme die Untergruppen von ${}\mathbb {Z} /(15)$.

Aufgabe

Es sei ${}G=S_{3}$ die Permutationsgruppe zu einer dreielementigen Menge. Welche Zahlen treten als Ordnungen von Untergruppen und welche als Ordnungen von Elementen auf?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\,$

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante ${}1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit ${}\det M$ übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ein Normalteiler in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern ${}N_{i}$, ${}i\in I$, in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ${}\varphi$ ein Normalteiler in ${}H$?

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Die nächste Aufgabe verwendet das Konzept einer exakten Sequenz.

Es seien ${}G_{0},\ldots ,G_{n}$ Gruppen und ${}f_{i}:G_{i-1}\to G_{i}$ Gruppenhomomorphismen derart, dass ${}\operatorname {kern} f_{i+1}=\operatorname {bild} f_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gilt. Dann heißt

$G_{0}\to G_{1}\to \ldots \to G_{n-1}\to G_{n}$

eine exakte Sequenz von Gruppen.

Aufgabe

Es sei

$G_{0}\to G_{1}\to \ldots \to G_{n-1}\to G_{n}$

eine exakte Sequenz von Gruppen, wobei alle beteiligten Gruppen endlich seien und ${}G_{0}=G_{n}$ die triviale Gruppe sei. Zeige, dass dann

${}\prod _{i=0}^{n}{\#\left(G_{i}\right)}^{(-1)^{i}}=1\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Untergruppen von ${}\mathbb {Z} /(20)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und sei ${}\sigma$ eine Permutation auf ${}M$ und ${}x\in M$. Zeige, dass ${}{\left\{n\in \mathbb {Z} \mid \sigma ^{n}(x)=x\right\}}$ eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit ${}\operatorname {ord} _{x}{\sigma }$. Zeige die Beziehung

${}\operatorname {ord} \,(\sigma )=\operatorname {kgV} {\left\{\operatorname {ord} _{x}{\sigma }\mid x\in M\right\}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit ${}\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$ für alle ${}g,h\in G$. Zeige, dass ${}M$ eine Gruppe und ${}\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen ${}F\subseteq G\subseteq H$ an derart, dass ${}F$ ein Normalteiler in ${}G$ und ${}G$ ein Normalteiler in ${}H$, aber ${}F$ kein Normalteiler in ${}H$ ist.