Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

	A	B	C
A	${\displaystyle }$	$\text{x}$	$\text{x}$
B	$\text{x}$	$\text{x}$	${\displaystyle }$
C	$\text{x}$	$\text{x}$	$\text{x}$

beschriebene Relation auf der Menge $\{A,B,C\}$ reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Aufgabe

Auf den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Aufgabe

Wir betrachten auf dem weißen Teil des angegebenen Labyrinths die Äquivalenzrelation, die dadurch festgelegt ist, dass zwei Punkte als äquivalent gelten, wenn man durch eine stetige Bewegung (also ohne Sprünge) von einem Punkt zum anderen Punkt gelangen kann. Zeige, dass ein Punkt außerhalb des äußeren Kreises und ein Punkt des inneren Kreises zueinander äquivalent sind.

Aufgabe

Es sei $B$ ein Blatt Papier (oder ein Taschentuch). Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf $B$ und die zugehörigen Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

1. Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
2. Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
3. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
4. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
5. Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch (bezüglich des Mittelpunktes des Blattes) gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
6. Es sei $K$ ein Kreis (d.h. eine Kreislinie) auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
7. Es gebe zwei Punkte  $P\ne Q$,  die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
8. Es sei $H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu $H$ sind.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch „gehören zur gleichen Gattung“, „gehören zur gleichen Familie“, „gehören zur gleichen Art“, „gehören zur gleichen Klasse“, „gehören zur gleichen Ordnung“ gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?

Aufgabe

Es sei $M$ die Menge der Menschen und $R$ die Verwandtschaftsrelation darauf, die wir großzügig als transitiv interpretieren. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?

Aufgabe

Wir betrachten die Produktmenge  $M=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$.  Wir fixieren die Sprünge

$\pm (2,1)\text{ und }\pm (1,3),$

und sagen, dass zwei Punkte $P=(a,b),Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von $P$ den Punkt $Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann (und dabei in $M$ bleibt). Dies ist eine Äquivalenzrelation. Man bestimme die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und für jede Äquivalenzklasse genau einen besonders einfachen Vertreter. Man gebe auch einen Algorithmus an, der zu einem  $(a,b)\in M$  diesen äquivalenten Vertreter findet.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f:M\to N$ eine Abbildung. Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $N$. Zeige, dass durch  $x\equiv x^{\prime }$,  falls  $f(x)\sim f(x^{\prime })$  gilt, eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei $G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation $\sim$ auf $G$, die durch

$x\sim y\text{ genau dann, wenn }x=y\text{ oder }x=y^{-1}$

erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Relation auf $V$, die durch

$v\sim w,\text{ falls es ein }\lambda \in K,\lambda \ne 0,\text{ mit }v=\lambda w\text{ gibt }$

eine Äquivalenzrelation ist. Was sind die Äquivalenzklassen?

Aufgabe

Wir fassen ein Dreieck als ein Dreiertupel im ${ℝ}^2$ auf. Zeige, dass die Kongruenz von Dreiecken eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Wir betrachten die folgende Relation auf ${\mathrm{Mat}}_n(K)$.

$M\sim N,\text{ falls es eine invertierbare Matrix }B\text{ gibt mit }M=BN{B}^{-1}.$

Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Wir betrachten die Relation auf der Menge der quadratischen $n\times n$-Matrizen, bei der Matrizen $M$ und $N$ als äquivalent angesehen werden, wenn es Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ mit  $M=E_k\circ \cdots \circ E_1\circ N$  gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und  $m\in \mathbb{N}$.  Betrachte auf der Produktmenge $V^m$ die folgende Relation.

$(v_1,\dots ,v_m)\sim (w_1,\dots ,w_m),\text{ falls }⟨v_1,\dots ,v_m⟩=⟨w_1,\dots ,w_m⟩$

Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Man gebe eine Bijektion zwischen der zugehörigen Quotientenmenge und der Menge der Unterräume von $V$ der Dimension $\le m$ an. Zeige ferner, dass zwei Tupel $(v_1,\dots ,v_m)$ und $(w_1,\dots ,w_m)$ genau dann in dieser Relation zueinander stehen, wenn es eine invertierbare $m\times m$-Matrix  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in {\mathrm{Mat}}_m(K)$  gibt mit

$v_i=\sum _{j=1}^m{a}_{ij}{w}_j$

für alle $i$.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Mengen der linearen Abbildungen $\phi :{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ die Relation $\sim$, bei der  $\phi \sim \psi$  genau dann gilt, wenn es Basen $v_1,\dots ,v_n$ und $w_1,\dots ,w_n$ mit  $M_{𝔳}^{𝔳}(\phi )=M_{𝔴}^{𝔴}(\psi )$  gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Wie kann man den Satz über die jordansche Normalform im Kontext von Äquivalenzrelationen interpretieren?

Aufgabe *

Wir betrachten auf ${\mathbb{N}}_{+}$ die Relation $\sim$, die durch

$m\sim n$

festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.

1. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   $100,1000,9,125,500,27,10,210.$

3. Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb{P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge $𝔓(\mathbb{P})$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   $\phi :{\mathbb{N}}_{+}⟶𝔓(\mathbb{P})$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   $\tilde{\phi }:Q⟶𝔓(\mathbb{P})$

   führt. Ist $\tilde{\phi }$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

Aufgabe *

Es sei $M$ die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$. Definiere auf $M$ eine Relation durch

$f\sim g\text{ falls }f(0)=g(0),f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)\text{ und }{f}^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1).$

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde für jede Äquivalenzklasse dieser Äquivalenzrelation einen polynomialen Vertreter.

c) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation mit der Addition von Funktionen verträglich ist.

d) Zeige, dass diese Äquivalenzrelation nicht mit der Multiplikation von Funktionen verträglich ist.

Aufgabe

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall, wir betrachten die Menge

$C^1(I,ℝ):=\{f:I\to ℝ\mid f\text{ ist differenzierbar}\}.$

Für  $f,g\in C^1(I,ℝ)$  definieren wir

$f\sim g,\text{ falls es ein }c\in ℝ\text{ gibt mit }f(x)=g(x)+c\text{ für alle }x\in I.$

Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei

$\mathrm{Abb}(K,K)=\{f:K\to K\mid f\text{ Funktion}\}$

die Menge der Abbildungen von $K$ nach $K$. Wir betrachten die Relation auf $\mathrm{Abb}(K,K)$, die durch  $f\sim g$,  falls es  $c,d\in K$  mit

$f(x)=g(x+c)+d$

für alle  $x\in K$  gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen $X$ über $K$. Zu einem Polynom  $P\in K[X]$  und einer Linearform

$L=aX+b$

mit  $a\ne 0$  bezeichnet

$P\frac{L}{X}$

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von $X$ in $P$ durch $aX+b$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation $\sim$ auf $K[X]$, die durch

$P\sim Q,$

falls es eine Linearform $aX+b$ mit $a\ne 0$ mit

$Q=P\frac{aX+b}{X}$

gibt.

a) Berechne

$(3X^2-4X+7)\frac{3X-5}{X}.$

b) Zeige, dass durch $\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

c) Es sei  $K=ℂ$.  Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten $Q$ mit

$Q(0)=0$

besitzt.

d) Es sei  $K=ℂ$.  Zeige, dass jedes Polynom $\ne 0$ einen normierten Repräsentanten besitzt.

e) Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms  $P\ne 0$  nur von der Äquivalenzklasse $[P]$ abhängt.

Aufgabe

Zeige, dass die auf $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ in Beispiel 45.19 eingeführte Relation

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }a+d=b+c,$

eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Zeige, dass die auf $\mathbb{Z}$ in Beispiel 45.19 eingeführte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

Die folgende Aufgabe beschreibt die Konstruktion von $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$ mit Hilfe von Äquivalenzklassen und Quotientenmengen.

Aufgabe *

Betrachte auf $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\text{ falls }ad=bc\text{ ist}.$

a) Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a^{\prime },b^{\prime })$ mit  $b^{\prime }>0$  gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\phi :\mathbb{Z}⟶M,z⟼[(z,1)].$

Zeige, dass $\phi$ injektiv ist.

d) Definiere auf $M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung $\phi$ die Beziehung

$\phi (z_1+z_2)=\phi (z_1)+\phi (z_2)$

für alle  $z_1,z_2\in \mathbb{Z}$  gilt.

Aufgabe

Es sei $M\times N$ eine Produktmenge. Zeige, dass die Gleichheit in der ersten Komponente eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf $M\times N$ ist. Zeige, dass man jede Äquivalenzklasse mit $N$ und die Quotientenmenge $M\times N/\sim$ mit $M$ identifizieren kann.

Aufgabe

Es seien $M_1$ und $M_2$ Mengen und ${\sim }_1$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_1$ und ${\sim }_2$ sei eine Äquivalenzrelation auf $M_2$. Betrachte die Relation $\sim$ auf der Produktmenge $M_1\times M_2$, die durch

$(a_1,a_2)\sim (b_1,b_2),\text{ falls }{a}_1{\sim }_1{b}_1\text{ und }{a}_2{\sim }_2{b}_2\text{ gilt},$

definiert ist. Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf $M_1\times M_2$ die durch

$(a_1,a_2)\sim (b_1,b_2),\text{ falls }{a}_1{\sim }_1{b}_1\text{ oder }{a}_2{\sim }_2{b}_2\text{ gilt},$

definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und  $P\subseteq 𝔓(M)$.  Dann heißt $P$ eine Partition von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Für alle  $A\in P$  gilt  $A\ne \mathrm{\varnothing }$. 
2. Für  $A,B\in P$,   $A\ne B$,  gilt  $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$. 
3. Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$.

Beweise, dass die Quotientenmenge  $M/\sim =\{[x]\mid x\in M\}$  zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und  $P\subseteq 𝔓(M)$  eine Partition. Zeige, dass $P$ durch

$x\sim y,\text{ falls es ein }A\in P\text{ gibt mit }x\in A\text{ und }y\in A,$

eine Äquivalenzrelation auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition $\{\{1\},\{2,3,4\},\{5,6\},\{7\}\}$ der Menge $\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge und $(R_i{)}_{i\in I}$ eine Familie von Äquivalenzrelationen auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt  $R:=\bigcap _{i\in I}{R}_i$  wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für $\bigcup _{i\in I}{R}_i$?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

	A	B	C	D
A	$\text{x}$	$$	$\text{x}$	$$
B	$\text{x}$	$\text{x}$	$$	$$
C	$$	$$	$\text{x}$	$$
D	$$	$\text{x}$	$$	$\text{x}$

beschriebene Relation auf der Menge $\{A,B,C,D\}$ reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem $8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den $64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem $3\times 3$-Schachbrett aus?

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten für je zwei Teilmengen  $A,B\subseteq \mathbb{N}$  die symmetrische Differenz

$A\mathrm{△}B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$

Wir setzen  $A\sim B$,  falls $A\mathrm{△}B$ endlich ist. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf $𝔓(\mathbb{N})$ definiert wird.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation $R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus ${\kappa }_g$ mit  $x={\kappa }_g(y)$  gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer Gruppe $G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $S_3$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge $\{1,2,3\}$ in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ die Menge der invertierbaren $n\times n$-Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen $M$ und $N$ aus ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $M\subseteq {ℝ}^n$  eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Betrachte die Relation $R$ auf $M$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es eine stetige Abbildung

$\gamma :[0,1]⟶M,t⟼\gamma (t),$

mit $\gamma (0)=x$ und $\gamma (1)=y$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.