Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 55

Übungsaufgaben

Wir erinnern an die folgenden Aufgaben.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

${}K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}I$ eine Indexmenge, und ${}K^{I}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ der zugehörige Vektorraum.

1. Zeige, dass

   ${}E={\left\{f\in K^{I}\mid f(i)=0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}}\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

2. Zu jedem ${}i\in I$ sei ${}e_{i}\in K^{I}$ durch

   ${}e_{i}(j)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=i\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

   gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element ${}f\in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie ${}e_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S$ und ${}T$ Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

$\psi \colon S\longrightarrow T$

eine lineare Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(T,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(S,K\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}S$ und ${}T$ Mengen. Es sei

$\psi \colon S\longrightarrow T$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch ${}e_{s}\mapsto e_{\psi (s)}$ eine lineare Abbildung

$K^{(S)}\longrightarrow K^{(T)}$

festgelegt ist.

b) Es habe nun ${}\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

$K^{(T)}\longrightarrow K^{(S)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

mit

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

multilinear ist.

Aufgabe

Zeige, dass im Allgemeinen in einem Tensorprodukt ${}V\otimes _{K}W$ nicht jeder Vektor von der Form ${}v\otimes w$ ist.

Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}-7\\3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-8\\9\\-4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}6\\-7\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\3\\-3\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{4}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}2\\-{\frac {3}{7}}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-7\\{\frac {5}{4}}\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\1\\0\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne in ${}{\mathbb {C} }^{2}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}3-5{\mathrm {i} }\\4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}6\\1-{\mathrm {i} }\\2+3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne in ${}{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }$ das Tensorprodukt

$(4-5{\mathrm {i} })\otimes (3-7{\mathrm {i} })\otimes (-2-6{\mathrm {i} }).$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass es eine Linearform

${V}^{*}\otimes V\longrightarrow K$

gibt, die ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ abbildet.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}{V}^{*}$ der Dualraum zu ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine multilineare Abbildung

${V}^{*}\times W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},\,(f,w)\longmapsto {\left(v\mapsto f(v)w\right)}.$

b) Es gibt eine lineare Abbildung

$\psi \colon {V}^{*}\otimes W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},$

die ${}f\otimes w$ auf die lineare Abbildung ${}v\mapsto f(v)w$ abbildet.

c) Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist ${}\psi$ aus Teil (b) ein Isomorphismus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}(V_{1},\left\langle -,-\right\rangle _{1}),\ldots ,(V_{n},\left\langle -,-\right\rangle _{n})$ Vektorräume über ${}K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle _{i}$ fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$ eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ gegeben ist, für die

${}\left\langle v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n},w_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{n}\right\rangle =\left\langle v_{1},w_{1}\right\rangle _{1}\cdots \left\langle v_{n},w_{n}\right\rangle _{n}\,$

gilt.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Minkowski-Standard-Form versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf ${}\mathbb {R} ^{4}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}6\\-3\\8\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-5\\-1\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in ${}{\mathbb {C} }^{2}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{3}\otimes _{\mathbb {C} }{\mathbb {C} }^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}5\\3+2{\mathrm {i} }\\4-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}-1+{\mathrm {i} }\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$, die bezüglich der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{d}$ von ${}V$ durch die Gramsche Matrix ${}M=(a_{ij})$ beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige Linearform auf ${}V\otimes _{K}V$ bezüglich der zugehörigen Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$. Stifte eine lineare Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}\otimes \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},$

die ${}\psi \otimes \varphi$ auf ${}\varphi \circ \psi$ abbildet.