Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 55

Übungsaufgaben

Wir erinnern an die folgenden fünf Aufgaben, das Tensorprodukt erlaubt eine neue Sichtweise.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

$K^I:=\mathrm{Abb}(I,K)$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, sei $I$ eine Indexmenge, und  $K^I=\mathrm{Abb}(I,K)$  der zugehörige Vektorraum.

a) Zeige, dass

$E=\{f\in K^I\mid f(i)=0\text{ für alle }i\in I\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}\}$

ein Untervektorraum von $K^I$ ist.

b) Zu jedem  $i\in I$  sei  $e_i\in K^I$  durch

$e_i(j)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }j=i,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element  $f\in E$  eindeutig als Linearkombination der Familie $e_i$, $i\in I$, darstellen lässt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $S$ und $T$ Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

$\psi :S⟶T$

eine lineare Abbildung

$\mathrm{Abb}(T,K)⟶\mathrm{Abb}(S,K),\phi ⟼\phi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $S$ und $T$ Mengen. Es sei

$\psi :S⟶T$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch $e_s\mapsto e_{\psi (s)}$ eine lineare Abbildung

$K^{(S)}⟶K^{(T)}$

festgelegt ist.

b) Es habe nun $\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

$K^{(T)}⟶K^{(S)},\phi ⟼\phi \circ \psi ,$

festgelegt ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und seien $I$ und $J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\mathrm{Abb}(I,K)\times \mathrm{Abb}(J,K)⟶\mathrm{Abb}(I\times J,K),(f,g)⟼f\otimes g,$

mit

$(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)$

multilinear ist.

Aufgabe

Zeige, dass im Allgemeinen in einem Tensorprodukt $V{\otimes }_{K}W$ nicht jeder Vektor von der Form $v\otimes w$ ist.

Mit berechnen ist in den folgenden Aufgaben gemeint, die Tensorprodukte als Linearkombinationen von Tensorprodukten zu den Standardvektoren auszudrücken.

Aufgabe

Berechne in ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^2$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}6\\ 8\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right).$

Aufgabe *

Berechne in ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}-7\\ 3\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 4\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne in ${ℝ}^3{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 7\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-8\\ 9\\ -4\end{array}\right).$

Aufgabe *

Berechne in ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^2$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}6\\ -7\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-7\\ 3\\ -3\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-5\\ 4\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne in ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^4$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}2\\ -\frac{3}{7}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-7\\ \frac{5}{4}\\ \frac{3}{5}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\\ \frac{4}{3}\end{array}\right).$

Aufgabe *

Berechne in ${ℂ}^2{\otimes }_{ℂ}{ℂ}^3$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}3-5\mathrm{i}\\ 4+\mathrm{i}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}6\\ 1-\mathrm{i}\\ 2+3\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne in $ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ{\otimes }_{ℝ}ℂ$ das Tensorprodukt

$(4-5\mathrm{i})\otimes (3-7\mathrm{i})\otimes (-2-6\mathrm{i}).$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit dem Dualraum $V^{\ast }$. Zeige, dass es eine Linearform

$V^{\ast }\otimes V⟶K$

gibt, die $f\otimes v$ auf $f(v)$ abbildet.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $V^{\ast }$ der Dualraum zu $V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine multilineare Abbildung

$V^{\ast }\times W⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,W),(f,w)⟼(v\mapsto f(v)w).$

b) Es gibt eine lineare Abbildung

$\psi :V^{\ast }\otimes W⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,W),$

die $f\otimes w$ auf die lineare Abbildung $v\mapsto f(v)w$ abbildet.

c) Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist $\psi$ aus Teil (b) ein Isomorphismus.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $(V_1,{⟨-,-⟩}_1),\dots ,(V_n,{⟨-,-⟩}_n)$ Vektorräume über $K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${⟨-,-⟩}_i$ fixiert sei. Zeige, dass auf den Tensorprodukt $V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$ eine Bilinearform $⟨-,-⟩$ gegeben ist, für die

$⟨v_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_n,w_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{w}_n⟩={⟨v_1,w_1⟩}_1\cdots {⟨v_n,w_n⟩}_n$

gilt.

Aufgabe

Der ${ℝ}^4$ sei mit der Minkowski-Standard-Form versehen. Bestimme die zugehörige Linearform auf ${ℝ}^4{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^4$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in ${ℝ}^3{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 8\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-5\\ -1\\ 4\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in ${ℂ}^2{\otimes }_{ℂ}{ℂ}^3{\otimes }_{ℂ}{ℂ}^2$ das Tensorprodukt

$\left(\begin{array}{c}2-\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}5\\ 3+2\mathrm{i}\\ 4-3\mathrm{i}\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{c}-1+\mathrm{i}\\ 2+\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf $V$, die bezüglich der Basis $v_1,\dots ,v_d$ von $V$ durch die Gramsche Matrix

$M=\left(a_{ij}\right)$

beschrieben werde. Beschreibe die zugehörige Linearform auf $V{\otimes }_{K}V$ bezüglich der zugehörigen Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Stifte eine lineare Abbildung

${\mathrm{Hom}}_K(U,V)\otimes {\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_K(U,W),$

die $\psi \otimes \phi$ auf $\phi \circ \psi$ abbildet.