Definiere die folgenden
(kursiv gedruckten) Begriffe.
- Das
Zählmaß
auf einer Menge .
- Ein
Hausdorff-Raum
.
- Der
Produkt-Präring
auf der
Präringe
.
- Eine
-einfache Funktion
-
auf einem Messraum .
- Die Eigenschaft einer Teilmenge
,
die Punkte von zu
trennen.
- Das -te
Legendre-Polynom
.
Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)
Es sei eine Menge und seien
-
Teilmengen
().
Wir betrachten die Menge , die aus allen Teilmengen von besteht, die man als Durchschnitte der Form
-
erhalten kann, wobei die Menge jeweils ein oder ein ist.
a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von erhalten kann.
b) Zeige, dass es in eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen mit
-
und mit der Eigenschaft, dass jedes
, , ein umfasst gibt.
c) Zeige, dass man jede Menge als
-
mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge darstellen kann.
Es seien
und
endliche Maßräume
und ihr
Produktmaßraum.
Zeige, dass das
Bildmaß
von unter der Projektion
-
gleich
(dem umskalierten Maß)
ist.
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
Beweise den Satz über Borelmengen im und achsenparallele Quader mit rationalen Ecken.
Zeige, dass sich die abgeschlossene Einheitskreisscheibe
-
nicht durch abzählbar viele abgeschlossene Rechtecke
(mit und )
überdecken lässt.
Berechne das
Volumen
des von den Vektoren
-
im
erzeugten Parallelotops
(in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).
Es sei
-
eine
positive
stetige Funktion
(mit aus ).
Zeige direkt
(ohne die Transformationsformel),
dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
-
das Volumen besitzt.
Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)
Es sei
-
und es sei
-
versehen mit der Maximumsnorm.
- Ist abgeschlossen in ?
- Ist
gleichgradig stetig?
- Für welche Punkte
ist das Auswertungsbild zu
-
beschränkt?
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen den Tschebyschow-Polynomen und dem Kosinus.