Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$-Achse gedreht wird.

Aufgabe *

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,$

um die ${}t$-Achse rotieren lässt.

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$.

Aufgabe *

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe

Beweise Satz 12.3 für stetige Funktionen ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ direkt über Treppenfunktionen und Überpflasterungen des Rotationskörpers.

Aufgabe *

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe *

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist ${}30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von ${}20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von ${}25$ cm. Über Nacht hat es ${}5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

Aufgabe

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe ${}1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),$

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$). Zeige, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

$M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3},$

das Volumen ${}0$ besitzt.

Aufgabe *

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe

Wo liegt der Fehler in Beispiel 12.7?

Für eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ haben wir bisher nur das ${}n$-dimensionale Volumen ${}\lambda ^{n}(T)$ zur Verfügung. Viele „niedrigerdimensionale“ Teilmengen wie die Kugeloberfläche besitzen dabei das Volumen ${}0$, denen man aber gerne auch einen passenden „niedrigerdimensionalen“ Inhalt zuordnen möchte. Für Kurven haben wir in Analysis II einen adäquaten Längenbegriff entwickelt, siehe Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), für ${}d$-dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten wird eine entsprechende Theorie in der Differentialgeometrie entwickelt. Hier werden wir an einigen Beispielen die Idee verfolgen, durch Verdickungen von ${}T$ und einen geeigneten Limesprozess zu einem niedrigerdimensionalen Inhalt zu gelangen. Zu ${}\epsilon >0$ nennen wir

${}T(\epsilon ):=\bigcup _{P\in T}U{\left(P,\epsilon \right)}\,$

die ${}\epsilon$-Verdickung von ${}T$.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Verbindungsstrecke ${}S$ zwischen zwei Punkten ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass

${\frac {\lambda ^{n}(S(\epsilon ))}{\epsilon ^{n-1}\beta _{n-1}}}$

für ${}\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Länge von ${}S$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

${}n\geq 2$, eine stetig differenzierbare Kurve mit dem Bild ${}S=\gamma ([a,b])$. Zeige, dass

${\frac {\lambda ^{n}(S(\epsilon ))}{\epsilon ^{n-1}\beta _{n-1}}}$

für ${}\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Kurvenlänge konvergiert.

Aufgabe

Die Ableitung des Flächeninhaltes ${}\pi r^{2}$ des Kreises mit Radius ${}r$ ist ${}2\pi r$, also der Umfang des Kreises. Die Ableitung des Volumens ${}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ der Kugel mit Radius ${}r$ ist ${}4\pi r^{2}$, also der Flächeninhalt der Kugeloberfläche. Es sei ${}T(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Kugeloberfläche der allgemeinen Kugel ${}B(r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

1. Zeige (für ${}0<\epsilon <r$)

   ${}(T(r))(\epsilon )=U{\left(0,r+\epsilon \right)}\setminus B\left(0,r-\epsilon \right)\,.$

2. Zeige, dass

   ${\frac {\lambda ^{n}((T(r))(\epsilon ))}{2\epsilon }}$

   für ${}\epsilon \rightarrow 0$ gegen die Ableitung der Formel für die allgemeine ${}n$-dimensionale Kugel mit Radius ${}r$ konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$, dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$. Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$-Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$-Achse dreht.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige

${}\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$

durch Induktion über ${}n$ unter Verwendung von Beispiel 12.4 und Satz 32.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).