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Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Berechne das Integral

über dem Quader .



Es sei der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen und . Berechne das Integral



a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?



Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .



Es sei der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall , wobei mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a)

b)



Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).



Beweise den Satz von Fubini für eine stetige Funktion

mit Hilfe von Aufgabe 10.12.



Es sei

eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir (für ) die Abbildung

a) Es sei stetig. Zeige

b) Wie ist für beliebige zu definieren?



Stelle eine Formel für

auf und beweise sie

a) mittels dem Satz von Fubini,

b) mittels Aufgabe 13.8,

c) mittels Aufgabe 10.12.



Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

ein Maß auf ist.



Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?



Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf , das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.


Für integrierbare Funktionen

nennt man die durch

definierte Funktion die Faltung von und .



Es seien

Dichten auf dem mit den zugehörigen Maßen bzw. . Zeige, dass die Faltung der beiden Maße die Faltung als Dichte besitzt.



Es sei eine stetige Dichte und das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte die Folge

gegen konvergiert.



Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 13.5 zusammen?



Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf dem Quadrat . Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion zwischen und . Berechne die Integrale

a) ,

b) .



Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion über dem Rechteck .



Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das Integral

maximal? Welchen Wert besitzt es?



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein - endlicher Maßraum, es sei

eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei das Maß zur Dichte . Zeige, dass für jede messbare Funktion

die Beziehung

gilt.



Aufgabe (5 Punkte)

Es seien  und - endliche Maßräume, und es seien

und

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen und . Zeige, dass auf das Produktmaß mit dem Maß zur Dichte

bezüglich übereinstimmt.



Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Bildmaß zur Abbildung ()

a) Zeige, dass ein - endliches Maß auf ist.

b) Zeige, dass bezüglich die Dichte

besitzt, wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.



Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?



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