Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 13
- Aufwärmaufgaben
Es sei der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen und . Berechne das Integral
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?
Berechne das Integral zur Funktion
über dem Einheitswürfel .
Es sei der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall , wobei mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.
a)
b)
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers
b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).
Es sei
eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir (für ) die Abbildung
a) Es sei stetig. Zeige
b) Wie ist für beliebige zu definieren?
Stelle eine Formel für
auf und beweise sie
a) mittels dem Satz von Fubini,
b) mittels Aufgabe 13.8,
c) mittels Aufgabe 10.12.
Es sei ein Maßraum und es sei
eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung
ein Maß auf ist.
Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf , das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.
Es sei eine stetige Dichte und das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte die Folge
gegen konvergiert.
Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 13.5 zusammen?
Wir betrachten die Abbildung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das Integral
maximal? Welchen Wert besitzt es?
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein - endlicher Maßraum, es sei
eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei das Maß zur Dichte . Zeige, dass für jede messbare Funktion
die Beziehung
gilt.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und - endliche Maßräume, und es seien
und
messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen und . Zeige, dass auf das Produktmaß mit dem Maß zur Dichte
bezüglich übereinstimmt.
Aufgabe (6 Punkte)
Wir betrachten das Bildmaß zur Abbildung ()
a) Zeige, dass ein - endliches Maß auf ist.
b) Zeige, dass bezüglich die Dichte
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?
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