Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 12

Korollar

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$v\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine messbare Abbildung.

Dann ist die Abbildung

$\varphi _{v}\colon M\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M\times \mathbb {R} ^{n},\,(x,y)\longmapsto (x,y+v(x)),$

bijektiv und maßtreu.

Beweis

Die Abbildung ${}\varphi _{v}$ ist messbar nach Lemma 4.11 und nach Lemma 8.4. Sie ist ferner bijektiv, die Umkehrabbildung ist ${}\varphi _{-v}$. Sei  ${}T\subseteq M\times N$  messbar. Wir müssen

${}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)=(\mu \otimes \lambda ^{n})(\varphi _{v}^{-1}(T))\,$

zeigen. Für  ${}x\in M$  ist

${}(\varphi _{v}^{-1}(T))(x)=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y)\in \varphi _{v}^{-1}(T)\right\}=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}\,.$

Aufgrund der Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt diese Menge das gleiche Maß wie

$\left\{y+v(x)\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,y+v(x))\in T\right\}=\left\{z\in \mathbb {R} ^{n}\mid (x,z)\in T\right\}=T(x)\,.$

Aufgrund der Integrationsversion des Cavalieri-Prinzips gilt also

${}{\begin{aligned}(\mu \otimes \lambda ^{n})(T)&=\int _{M}\lambda ^{n}(T(x))\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\lambda ^{n}\left(\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right)(x)\right)\,d\mu (x)\\&=\left(\mu \otimes \lambda ^{n}\right)\left(\varphi _{v}^{-1}(T)\right).\end{aligned}}$

$\Box$

Einige Volumina

Definition

Zu einer Teilmenge  ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$  nennt man

$\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Satz

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine nichtnegative messbare Funktion und sei  ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  der Rotationskörper zum Subgraphen von ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,$

wobei für die zweite Formel ${}f$ als stetig vorausgesetzt sei.

Beweis

Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist

${}(\lambda \otimes \lambda ^{2})(K)=\int _{[a,b]}\lambda ^{2}(K(t))\,d\lambda (t)=\pi \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)\,.$

Für stetiges ${}f$ ist dies nach Satz 10.5 gleich

$\pi \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt.$

$\Box$

Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer (differenzierbaren) Funktion werden wir in Satz 17.5 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) berechnen.

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer ${}n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B_{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}\,.$

Wegen Satz 7.2 gilt dabei  ${}\lambda ^{n}(B_{n}(r))=r^{n}\lambda ^{n}(B_{n}(1))$,  d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Ihr Volumen bezeichnen wir mit  ${}\beta _{n}=\lambda ^{n}(B_{n}(1))$.  Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist ${}\beta _{1}=2$). Wir betrachten

${}B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.$

Für jedes fixierte ${}h$, ${}-1\leq h\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}B_{n}(h)&=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}\\&=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}\\&=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}\\&=B_{n-1}\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine ${}(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&=\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)^{n-1}\lambda ^{n-1}\left(B_{n-1}(1)\right)\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}\left(B_{n-1}(1)\right)\cdot \int _{[-1,1]}\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}$

Dabei können wir das Integral rechts wegen Satz 10.5 und Korollar 24.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution

${}h=\sin t\,$

liefert

${}\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$

Im Beweis zu Korollar 25.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) wurden diese Integrale berechnet; mit  ${}a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt$  gilt

${}a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift  ${}\beta _{n}=2\beta _{n-1}a_{n}$  kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als

${}\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$

schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Satz 32.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), siehe Aufgabe 12.20.

Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert ${}\pi$, für das Volumen der Einheitskugel der Wert ${}{\frac {4}{3}}\pi$ und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert ${}{\frac {\pi ^{2}}{2}}$.

Definition

Es sei  ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$  und  ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$  ein Punkt. Dann nennt man die Menge

${}K_{B}=\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}\,$

den Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$.

Satz

Es sei  ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  messbar,  ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$  ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei  ${}h=P_{n+1}$  die letzte Koordinate von ${}P$.

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}\left(K_{B}\right)={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

Beweis

Bei  ${}h=0$  liegt der gesamte Kegel in ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sein ${}\lambda ^{n+1}$-Maß ist ${}0$ nach Lemma 6.11, sei also  ${}h\neq 0$.  Der Durchschnitt von  ${}K=K_{B}$  mit der durch  ${}x_{n+1}=t$,  ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}h$, gegebenen Hyperebene ist

${}{\begin{aligned}K(t)&=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}\\&=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}.\end{aligned}}$

Wegen der Translationsinvarianz und Korollar 7.3 ist dessen Volumen gleich ${}\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit ${}s=h-t$)

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot \left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$

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Beispiel

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe  ${}h\in [0,1]$  ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch  ${}z=h$  definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist ${}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}$. Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution ${}h=\sin s$)

${}{\begin{aligned}A&=2\int _{0}^{1}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{1}{\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}s\,ds\\&=4\pi {\frac {1}{2}}(s+\sin s\cos s)|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\pi {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi ^{2}.\end{aligned}}$

Der wahre Wert ist aber mit ${}4\pi$ deutlich größer.

Der Satz von Fubini

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion. Der Satz von Fubini bringt das Integral ${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )$ mit dem Integral über ${}M$ der Funktion

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum ${}M\times N\times {\overline {\mathbb {R} }}$, und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details (Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen) doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen.

Eine Teilmenge  ${}Z\subseteq M$  eines Maßraumes ${}M$ heißt Nullmenge, wenn  ${}\mu (Z)=0$  ist. Beispielsweise ist jede abzählbare Menge in ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Nullmenge. Manchmal verwendet man diesen Begriff auch für nicht notwendigerweise messbare Teilmengen ${}Z$, für die es eine messbare Menge  ${}Z\subseteq Z'$  gibt mit  ${}\mu (Z')=0$.  Für eine Eigenschaft ${}E$, die für die Punkte eines Maßraumes erklärt ist, sagt man, dass die Eigenschaft fast überall gilt, wenn die Ausnahmemenge

$\left\{x\in M\mid E(x){\text{ gilt nicht}}\right\}$

eine Nullmenge ist. Insbesondere spricht man von fast überall definierten Funktionen. Da es bei Integralen nicht auf Nullmengen des Definitionsbereiches ankommt, kann man häufig solche „kleinen“ Undefiniertheitsstellen ignorieren.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative messbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes  ${}x\in M$  ist die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto f(x,y),$

   und für jedes  ${}y\in N$  ist die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto f(x,y),$

   messbar.

2. Die Funktion

   $N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

   und die Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

   sind messbar.

3. Es gilt

   ${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)=\int _{N}\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)\,.$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen

$M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$

für jedes  ${}y\in N$. 
(2) folgt aus Lemma 11.4 angewendet auf

${}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,$

da ${}(S(f))(x)$ der Subgraph von ${}f(x,-)$ und  ${}\int _{N}f(x,-)d\nu =\nu \otimes \lambda ^{1}(S(f)(x))$  ist.
(3). Nach Satz 11.5, angewendet auf das Produkt ${}M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})$, ist

${}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&=\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)(S(f))\\&=\int _{M}\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)\left((S(f))(x)\right)\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}$

Da man die Rollen von ${}M$ und ${}N$ vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.

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Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann integrierbar, wenn

$\int _{M}\left(\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)\right)\,d\mu (x){\text{ oder }}\int _{N}\left(\int _{M}\vert {f(x,y)}\vert \,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)$

endlich ist.

Beweis

Die Integrierbarkeit von ${}f$ ist nach Lemma 9.5 äquivalent zur Integrierbarkeit der Betragsfunktion, was die Endlichkeit von ${}\int _{M\times N}\vert {f}\vert \,d(\mu \otimes \nu )$ bedeutet. Die Aussage folgt daher aus Lemma 12.8.

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Wir kommen nun zum Satz von Fubini.

Satz

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ ${}\sigma$-endliche Maßräume und sei

$f\colon M\times N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine integrierbare Funktion.

Dann sind die beiden Funktionen

$M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,x\longmapsto \int _{N}f(x,y)\,d\nu (y),$

und

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,y\longmapsto \int _{M}f(x,y)\,d\mu (x),$

fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt

${}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)=\int _{N}\left(\int _{M}f(x,y)\,d\mu (x)\right)\,d\nu (y)\,$

Beweis

Nach Voraussetzung und nach Lemma 12.9 ist die Funktion ${}x\mapsto \int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ integrierbar. Dies bedeutet insbesondere, dass das Integral ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)$ fast überall einen endlichen Wert hat, dass es also eine Nullmenge  ${}Z\subseteq M$  gibt mit  ${}\int _{N}\vert {f(x,y)}\vert \,d\nu (y)<\infty$  für  ${}x\notin Z$.  Daher sind nach Lemma 9.5 für  ${}x\notin Z$  die Integrale ${}\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)$ definiert und endlich, und dies gilt ebenso für die positiven und negativen Teile ${}f_{+}(x,y)$ und ${}f_{-}(x,y)$.

Da sich Integrale nicht ändern, wenn man im Integrationsgebiet eine Nullmenge weglässt, und da ${}Z\times N$ eine Nullmenge in der Produktmenge ist, kann man ${}M$ durch ${}M\setminus Z$ ersetzen. Wir schreiben

$\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}(f_{+}-f_{-})\,d(\mu \otimes \nu )=\int _{M\times N}f_{+}\,d(\mu \otimes \nu )-\int _{M\times N}f_{-}\,d(\mu \otimes \nu )\,$

und wenden auf die beiden Summanden Lemma 12.8 an, sodass dies gleich

${}{\begin{aligned}&=\int _{M}\left(\int _{N}f_{+}(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)-\int _{M}\left(\int _{N}f_{-}(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}(f_{+}(x,y)-f_{-}(x,y))\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu (y)\right)\,d\mu (x)\end{aligned}}$

ist.

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