- Aufwärmaufgaben
Berechne das
Integral
-
über dem Quader
.
a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?
b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?
c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus
()
dividiert?
Berechne das Integral zur Funktion
-
über dem Einheitswürfel .
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers
-
b) Zeige, dass das
(von abhängige)
Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist
(dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).
Es sei
-
eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir
(für )
die Abbildung
-
a) Es sei stetig. Zeige
-
b) Wie ist für beliebige zu definieren?
Stelle eine Formel für
-
auf und beweise sie
a) mittels
dem Satz von Fubini,
b) mittels
Aufgabe 13.8,
c) mittels
Aufgabe 10.12.
Es sei ein
Maßraum und es sei
-
eine nichtnegative
messbare Funktion.
Zeige, dass die Zuordnung
-
ein
Maß
auf ist.
Welche
Dichte
besitzt das
Borel-Lebesgue-Maß
auf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?
Man gebe ein Beispiel für ein
Maß auf , das keine
Dichte bezüglich des
Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.
Für
integrierbare Funktionen
-
nennt man die durch
-
definierte Funktion die
Faltung
von
und .
Zeige, dass bei einer
Lipschitz-stetigen Abbildung
zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu
Lemma 13.5
zusammen?
Wir betrachten die Abbildung
-
Berechne das Minimum und das Maximum von
auf dem Quadrat
. Welche Abschätzung ergibt sich daraus für
?
- Aufgaben zum Abgeben
Berechne das
Integral zur Funktion über dem Rechteck .
Wir betrachten die Abbildung
-
Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das
Integral
-
maximal? Welchen Wert besitzt es?
Es seien
und
-
endliche
Maßräume,
und es seien
-
und
-
messbare
nichtnegative
integrierbare Funktionen
mit den zu diesen
Dichten
gehörigen Maßen
und .
Zeige, dass auf das
Produktmaß
mit dem Maß zur Dichte
-
bezüglich übereinstimmt.
Wir betrachten das
Bildmaß
zur Abbildung
()
-
a) Zeige, dass ein
-
endliches Maß
auf ist.
b) Zeige, dass bezüglich die
Dichte
-
besitzt, wobei
das Volumen der
-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Wir betrachten die Abbildung
-
Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten
und .
Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für
und für ?