Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 14

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung. Was besagt in dieser Situation die Transformationsformel für Quader und was die Newton-Leibniz-Formel?

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (xe^{y},-e^{-y}),$

in jedem Punkt maßtreu, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y),$

flächentreu ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Transformation

$[0,2\pi ]\times [0,1]\longrightarrow B\left(0,1\right),\,(\alpha ,w)\longmapsto ({\sqrt {w}}\cos \alpha ,{\sqrt {w}}\sin \alpha ),$

auf geeigneten offenen Teilmengen ein Diffeomorphismus ist und berechne die Jacobi-Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$- Diffeomorphismus mit offenen zusammenhängenden Mengen ${}G$ und ${}H$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann maßtreu ist, wenn die Jacobi-Determinante überall den Wert ${}1$ oder überall den Wert ${}-1$ hat.

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Beweise die Volumenformel für den zugehörigen Rotationskörper ${}K$ mit der Transformationsformel und der Abbildung

$\varphi \colon [a,b]\times D\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto (x,f(x)y,f(x)z),$

wobei ${}D$ die Einheitskreisscheibe bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt mit ${}a_{n+1}>0$ und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Beweise die Maßformel für den Kegel mit der Transformationsformel und der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}\times [0,a_{n+1}],\,(x_{1},\ldots ,x_{n},t)\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},0)+{\frac {t}{a_{n+1}}}(a_{1}-x_{1},\ldots ,a_{n}-x_{n},a_{n+1}).$

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\frac {\pi }{2}}\leq \rho \leq \theta ,\ \cos \theta \geq 0,\ \sin \theta \geq 0\right\}}\,.$

Berechne den Flächeninhalt von T.

Aufgabe

Interpretiere die Substitutionsregel als einen Spezialfall der Transformationsformel.

Aufgabe

Zeige, dass der Flächeninhalt eines Annulus gleich dem Produkt aus der Länge des Mittelkreises und der Breite ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$h_{1},h_{2}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

messbare Funktionen. Zeige

${}\int _{M}h_{1}h_{2}d\mu =\int _{S(h_{1})}h_{2}d\mu \otimes \lambda ^{1}\,,$

wobei ${}h_{2}$ in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen ${}S(h_{1})$ zu ${}h_{1}$ aufgefasst wird.

Aufgabe *

Berechne ${}\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{1+{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}}}dxdy$ mit Korollar 14.5.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Wert des Quadrats ${}{\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}$ für das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{2}$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy).$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$- Diffeomorphismus. Es sei

$f\colon H\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion.

a) Definiere einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu ${}f$ bzw. zu ${}f\circ \varphi$.

b) Beweise die Transformationsformel für Integrale in diesem Fall direkt aus Satz 14.2, angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe von Aufgabe 14.12.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$[0,10]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

und interessieren uns für die Straße der Breite ${}1$, deren Mittelstreifen der vorgegebene Funktionsgraph ist.

a) Zeige, dass zu zwei verschiedenen Punkten auf dem Funktionsgraphen die Senkrechten der Länge ${}1$ (mit dem Mittelpunkt auf dem Graphen) untereinander überschneidungsfrei sind.

b) Man gebe eine (möglichst einfache) Parametrisierung der Straße an.

c) Bestimme den Flächeninhalt der Straße.