Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Ausschöpfungseigenschaften}
Die folgenden Rechenregeln für Integrale beruhen auf dem Ausschöpfungssatz für Maße. Man kann den Subgraphen sowohl dadurch ausschöpfen, dass man die Grundmenge ausschöpft, als auch dadurch, dass man die Funktion ausschöpft, also durch andere Funktionen approximiert.
\inputfaktbeweis
{Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abzählbare Zerlegung}{}{}
in
\definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für eine
\definitionsverweis {integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {numerische Funktion}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \sum_{i \in I} { \left( \int_{ M_i } f \, d \mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die beiden
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{}
zum positiven und zum
\definitionsverweis {negativen Teil}{}{,}
also
\mathkor {} {S(f_+)} {und} {S(f_-)} {,}
haben endliches Maß, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f_+)
}
{ =} { \biguplus_{i \in I} S(f_+,M_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S(f_-)
}
{ =} { \biguplus_{i \in I} S(f_-,M_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher folgt die Aussage für die beiden Teile direkt aus der $\sigma$-Additivität des Maßes
\mathl{\mu \otimes \lambda^1}{.} Daraus folgt die Aussage für $f$ aus dem
großen Umordnungssatz.
\inputfaktbeweis
{Integrierbare Funktion/Ausschöpfungsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\mathbed {M_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine messbare
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
von $M$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für eine
\definitionsverweis {integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {numerische Funktion}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M_n } f \, d \mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch Betrachten von
\mathkor {} {f_+} {und} {f_-} {}
kann man annehmen, dass $f$ nichtnegativ ist. Dann schöpfen die Subgraphen
\mathl{S(f,M_n)}{} den Subgraphen
\mathl{S(f,M)}{} aus und die Aussage folgt aus
Lemma 3.4.
Den folgenden Satz nennt man \stichwort {Satz von der monotonen Konvergenz} {} oder \stichwort {Satz von Beppo Levi} {.}
\inputfaktbeweis
{Satz von der monotonen Konvergenz/Levi/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \bar{\R}_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von nichtnegativen
\definitionsverweis {messbaren}{}{}
\definitionsverweis {numerischen Funktionen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
$f$.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ M } f_n \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist die
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
nach
Korollar 8.8
wieder messbar, sodass das Integral links wohldefiniert ist. Für die \anfuehrung{halboffenen}{} Subgraphen
\mathl{S^o(f_n)}{} gilt die Beziehung
\mathl{S^o(f_n) \uparrow S^o(f)}{.} Daher ist nach
Lemma 3.4
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \mu \otimes \lambda^1 \right) } { \left( S^o(f) \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \mu \otimes \lambda^1 \right) } { \left( S^o(f_n) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wegen
Lemma 9.6
ist dies die Behauptung.
\inputfaktbeweis
{Monotone Konvergenz/Einfache Treppenfunktionen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R } _{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {numerische Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Integral}{}{}
\mathl{\int_{ M } f \, d \mu}{} gleich dem
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
der Integrale zu allen
\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \leq }{ f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 8.11 und aus Satz 10.3.
Hierbei ist wichtig, dass man beliebige \definitionsverweis {einfache Funktionen}{}{} und nicht nur, wie beim \definitionsverweis {Riemann-Integral}{}{,} die \definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{} zur Verfügung hat.
\zwischenueberschrift{Lebesgue-Integral und Riemann-Integral}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Lebesgue_and_Riemann_integration_animation.gif} }
\end{center}
\bildtext {Diese Animation zeigt, wie der Flächeninhalt unter dem Graphen mit (äquidistanten) Treppenfunktionen (Riemann-Integral) und mit einfachen Funktionen (Lebesgue-Integral) approximiert wird.} }
\bildlizenz { Lebesgue and Riemann integration animation.gif } {} {WarX} {pl. Wikipedia} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputfaktbeweis
{Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {I = [a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ I } f \, d \lambda^1
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wir nehmen an, dass $f$ nichtnegativ ist. Es seien
\maabbdisp {s,t} {I = [a,b]} {\R
} {}
eine obere bzw. eine
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{,}
wobei wir die untere Treppenfunktion ebenfalls als nichtnegativ annehmen können. Dann gilt aufgrund der
Monotonie
des Maßes die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ I } s \, d \lambda^1
}
{ \leq} { \int_{ I } f \, d \lambda^1
}
{ \leq} { \int_{ I } t \, d \lambda^1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden Subgraphen zu den Treppenfunktionen
\mathkor {} {s} {und} {t} {}
sind dabei jeweils eine endliche
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
von
\zusatzklammer {halboffenen} {} {}
Rechtecken. Daher sind die beiden äußeren Integrale aufgrund der Definition des
\definitionsverweis {Produktmaßes}{}{}
gleich dem
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{.}
Somit ist das Integral
\mathl{\int_{ I } f \, d \lambda^1}{} kleiner/gleich jedem
\definitionsverweis {oberen Treppenintegral}{}{}
und größer/gleich jedem
\definitionsverweis {unteren Treppenintegral}{}{}
von $f$. Diese Abschätzungen gelten dann auch für das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
der oberen Treppenintegrale bzw. das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
der unteren Treppenintegrale. Da diese aufgrund der Riemann-Integrierbarkeit übereinsimmen, muss das maßtheoretische Integral gleich dem Riemann-Integral sein.}
{}
Auf die Voraussetzung, dass die Riemann-integrierbare Funktion messbar ist, kann man dabei nicht verzichten.
\zwischenueberschrift{Linearität des Integrals}
\inputfaktbeweis
{Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Es seien
\mathl{f,g}{}
\definitionsverweis {integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
reellwertige
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
auf $M$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{af+bg}{} integrierbar, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } (af+bg) \, d \mu
}
{ =} { a \int_{ M } f \, d \mu +b \int_{ M } g \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Durch Betrachten des positiven und des
\definitionsverweis {negativen Teils}{}{}
kann man die Behauptung auf den Fall von nichtnegativen Funktionen und nichtnegativen Zahlen zurückführen. Wir behandeln die Additivität und die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation getrennt.
\teilbeweis {}{}{}
{Nach
Lemma 8.11
gibt es wachsende Folgen
\mathkor {} {f_n} {bzw.} {g_n} {}
von
\definitionsverweis {messbaren}{}{}
\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{,}
die punktweise gegen
\mathkor {} {f} {bzw.} {g} {}
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}
Dann konvergiert auch
\mathl{f_n+g_n}{} wachsend und punktweise gegen
\mathl{f+g}{.} \teilbeweis {}{}{}
{Zwei einfache Funktionen
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
können wir bezüglich einer geeigneten
\zusatzklammer {endlichen} {} {}
Zerlegung
\mathbed {C_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $M$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ \sum_{i \in I} a_i \cdot e_{ C_i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ = }{ \sum_{i \in I} b_i \cdot e_{ C_i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Damit gilt
\zusatzklammer {bei $\alpha,\beta$ messbar} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ M } (\alpha + \beta) \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \sum_{i \in I} (a_i +b_i) \cdot e_{ C_i } \right) } \, d \mu
}
{ =} { \sum_{i \in I} (a_i +b_i) \mu(C_i)
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_i \mu(C_i) + \sum_{i \in I} b_i \mu(C_i)
}
{ =} { \int_{ M } { \left( \sum_{i \in I} a_i \cdot e_{ C_i } \right) } \, d \mu + \int_{ M } { \left( \sum_{i \in I} b_i \cdot e_{ C_i } \right) } \, d \mu
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{ M } \alpha \, d \mu + \int_{ M } \beta \, d \mu
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und die Verträglichkeit mit der Summe gilt für einfache Funktionen.}
{}
Nach dem
Satz von der monotonen Konvergenz
und
Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ M } (f+g) \, d \mu
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M } (f_n+g_n) \, d \mu \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu + \int_{ M } g_n \, d \mu \right) }
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) } + \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M } g_n \, d \mu \right) }
}
{ =} { \int_{ M } f \, d \mu + \int_{ M } g \, d \mu
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Der Beweis für die skalare Multiplikation verläuft ähnlich, siehe
Aufgabe 9.5.}
{}
\zwischenueberschrift{Weitere Konvergenzsätze}
Wir erinnern daran, dass ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} einer Folge in einem metrischen Raum ein Punkt mit der Eigenschaft ist, dass es in jeder $\epsilon$-Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder gibt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{}
und es sei $H$ die Menge der
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{}
dieser Folge. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { \inf \, { \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( H ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennt diese Zahlen den \definitionswort {Limes inferior}{} bzw. den \definitionswort {Limes superior}{} der Folge.
\zusatzklammer {Wenn es keinen Häufungspunkt gibt, so ist dies als $\infty$ bzw. als $-\infty$ zu interpretieren} {} {.}
}
Nach Aufgabe 33.27 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist die Menge der Häufungspunkte einer Folge abgeschlossen und insbesondere messbar. Für eine Folge von numerischen Funktionen wird der Limes inferior und der Limes superior punktweise definiert. Für messbare Funktionenfolgen sind dies wieder messbare Funktionen, siehe Aufgabe 10.9.
Die folgende Aussage heißt
\stichwort{Lemma von Fatou}{.}
\inputfaktbeweis
{Integrationstheorie/Lemma von Fatou/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und es sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R } _{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von nichtnegativen
\definitionsverweis {messbaren}{}{}
\definitionsverweis {numerischen Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( f_n \right) } \, d \mu
}
{ \leq} {\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Funktionen
\mathkor {} {f = \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( f_n \right) }} {und} {h_n = \inf { \left( f_m, \, m \geq n \right) }} {}
sind nach
Aufgabe 10.9
bzw.
Lemma 8.4
\definitionsverweis {messbar}{}{,}
und die Folge $h_n$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
nach Aufgabe 10.8
wachsend gegen $f$. Wir können
den Satz von der monotonen Konvergenz
anwenden und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( \int_{ M } h_n \, d \mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h_k
}
{ \leq} { f_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } h_k \, d \mu
}
{ \leq} { \int_{ M } f_m \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } h_k \, d \mu
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{inf}_{ n \geq k } \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{inf}_{ n \geq 0 } \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen. Dies ergibt insgesamt die Behauptung.
Wir kommen zum
\stichwort{Satz von der majorisierten Konvergenz}{,} der auch
\stichwort{Satz von Lebesgue}{} heißt.
\inputfaktbeweis
{Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und es sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {punktweise konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von messbaren Funktionen.}
\faktvoraussetzung {Es gebe eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
\definitionsverweis {integrierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {h} { M } { \overline{ \R }_{\geq 0}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n(x) }
}
{ \leq }{ h(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
integrierbar, und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ M } f_n \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Majorante $h$ sichert nach
Lemma 9.5,
dass die $f_n$ integrierbar sind; da diese Abschätzung auch für die
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
gilt, ist diese ebenfalls integrierbar. Wir wenden
das Lemma von Fatou
auf die beiden nichtnegativen Funktionenfolgen
\mathl{{ \left( h+f_n \right) }_{ n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( h-f_n \right) }_{ n \in \N }}{} an und erhalten unter Verwendung der
Linearität
einerseits
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ M } h \, d \mu + \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } (h+f) \, d \mu
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } (h+f_n) \, d \mu \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } h \, d \mu + \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ =} { \int_{ M } h \, d \mu + \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
}
{}
{}{}
und andererseits
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{ M } h \, d \mu - \int_{ M } f \, d \mu
}
{ =} { \int_{ M } (h-f) \, d \mu
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } (h-f_n) \, d \mu \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } h \, d \mu - \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ =} { \int_{ M } h \, d \mu - \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
}
{}
{}{.}
Zusammenfassend ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_{ M } f \, d \mu
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( \int_{ M } f_n \, d \mu \right) }
}
{ \leq} { \int_{ M } f \, d \mu
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Daher stimmt der Limes inferior von
\mathl{\int_{ M } f_n \, d \mu}{} mit dem Limes superior davon überein und somit ist dies
nach Aufgabe 10.4
gleich dem Limes von
\mathl{\int_{ M } f_n \, d \mu}{.}