Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und
sei versehen mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen als Verknüpfung. Ist die Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es ein (eindeutiges) neutrales Element, für welche gibt es ein inverses Element?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also
Benenne die Elemente aus und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zeige, das zwei Mengen und , die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung an, die in überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen
eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Addition auf den natürlichen Zahlen kommutativ und assoziativ ist und dass die Abziehregel (d.h., dass aus für ein stets folgt) gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Multiplikation durch die Bedingungen
eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und . Zeige durch Induktion, dass die Beziehung
gilt.
(Zur Erinnerung: .)
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und zwei disjunkte endliche Mengen. Zeige, dass die Anzahl der (disjunkten) Vereinigung gleich der Summe der beiden Anzahlen der beiden Mengen ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und endliche Mengen. Zeige, dass die Produktmenge ebenfalls endlich ist, und dass die Beziehung
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise durch Induktion die folgenden Formeln.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme die Beziehung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass für die Beziehung genau dann gilt, wenn es ein gibt mit .
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition 4.10 festgelegten Multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen.
für alle , d.h. ist das neutrale Element für die Multiplikation.
für alle .
- Die Multiplikation ist kommutativ.
- Die Multiplikation ist assoziativ.
- Aus einer Gleichung mit folgt (Kürzungsregel).
- Für beliebige gilt
(Distributivgesetz).
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Ein „magisches Quadrat“ zur Seitenlänge ist eine Anordnung der natürlichen Zahlen in ein -Quadrat derart, dass die Summe aller Zeilen, die Summe aller Spalten und die Summe der beiden Diagonalen konstant ist. Welcher Wert ist das?
Formuliere mittels Abbildungen, was ein magisches Quadrat ist, und drücken Sie die Summenbedingungen mit dem Summenzeichen und geeigneten Indexmengen aus.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir sagen, dass zwei magische Quadrate und äquivalent sind, wenn sie durch eine Folge aus Drehungen oder Spiegelungen ineinander überführt werden können (dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation). Zeige, dass alle magischen Quadrate zur Seitenlänge untereinander äquivalent sind. Wie viele Elemente enthält die Quotientenmenge und wie viele die Äquivalenzklassen?
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Die Folge , sei rekursiv durch
definiert. Zeige, dass für
gilt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise durch Induktion die Abschätzung
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