Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 9

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Aufwärmaufgaben
Bundesarchiv Bild 102-10071, Preussische Hochschule für Leibesübungen.jpg


Aufgabe

Zeige, dass das Quadrieren

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

eine wachsende Funktion ist.


Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung

besteht.


Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form mit reellen Zahlen angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .


Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.


Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Aufgabe

Zeige, dass mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring, aber kein Körper ist.


Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist
  5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Aufgabe

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. Für ist .


Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

  1. Für reelles stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. .
  4. .
  5. Für ist .
  6. .


Aufgabe

Bestätige die in Beispiel ***** angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl im Fall .


Aufgabe

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

für .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist .
  5. .
  6. genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien mit . Zeige, dass es für die Gleichung

mindestens eine komplexe Lösung gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien mit . Man charakterisiere, wann es für die Gleichung

genau eine Lösung in gibt und wann zwei Lösungen.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von .


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen , die die Bedingung

erfüllen.


Aufgabe (4 Punkte)

Man schreibe eine Computeranimation, die die Intervallschachtelung für die eulersche Zahl aus Lemma 9.1 bis zum zehnten Schritt berechnet und darstellt.



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