Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Quadrieren

${ℝ}_{\ge 0}⟶{ℝ}_{\ge 0},x⟼x^2,$

eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel

${ℝ}_{\ge 0}⟶{ℝ}_{\ge 0},u⟼\sqrt{u},$

eine wachsende Funktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen $s$ und $t$ die Beziehung

$\sqrt{st}=\sqrt{s}\sqrt{t}$

besteht.

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.

Aufgabe

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der komplexen Zahlen.

1. $(5+4\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})$.
2. $(2+3\mathrm{i})(2-4\mathrm{i})+3(1-\mathrm{i})$.
3. $(2\mathrm{i}+3{)}^2$.
4. ${\mathrm{i}}^{1011}$.
5. $(-2+5\mathrm{i}{)}^{-1}$.
6. $\frac{4-3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$.

Aufgabe

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

Aufgabe *

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe

Zeige, dass $P={ℝ}^2$ mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweisen Multiplikation ein kommutativer Ring, aber kein Körper ist.

Aufgabe *

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

1. Es ist  $z=\mathrm{Re}\left(z\right)+\mathrm{Im}\left(z\right)\mathrm{i}$. 
2. Es ist  $\mathrm{Re}(z+w)=\mathrm{Re}\left(z\right)+\mathrm{Re}\left(w\right)$. 
3. Es ist  $\mathrm{Im}(z+w)=\mathrm{Im}\left(z\right)+\mathrm{Im}\left(w\right)$. 
4. Für  $r\in ℝ$  ist

   $\mathrm{Re}\left(rz\right)=r\mathrm{Re}\left(z\right)\text{ und }\mathrm{Im}\left(rz\right)=r\mathrm{Im}\left(z\right).$

5. Es ist  $z=\mathrm{Re}\left(z\right)$  genau dann, wenn  $z\in ℝ$  ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn  $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$  ist.

Aufgabe *

Zeige, dass innerhalb der komplexen Zahlen folgende Rechenregeln gelten.

1. Es ist  $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$. 
2. Es ist  $\mathrm{Re}\left(z\right)=\frac{z+\bar{z}}{2}$. 
3. Es ist  $\mathrm{Im}\left(z\right)=\frac{z-\bar{z}}{2\mathrm{i}}$. 
4. Es ist  $\bar{z}=\mathrm{Re}\left(z\right)-\mathrm{i}\mathrm{Im}\left(z\right)$. 
5. Für  $z\ne 0$  ist  $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$. 

Aufgabe

Zeige die folgenden Regeln für den Betrag von komplexen Zahlen.

1. Es ist  $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$. 
2. Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
3. Es ist  $|z|=0$  genau dann, wenn  $z=0$  ist.

4. $|z|=|\bar{z}|.$

5. $|zw|=|z||w|.$

6. Für  $z\ne 0$  ist  $|1/z|=1/|z|$. 

7. $|\mathrm{Re}\left(z\right)|,|\mathrm{Im}\left(z\right)|\le |z|.$

Aufgabe

Bestätige die in Beispiel 9.12 angegebene Formel für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl  $z=a+b\mathrm{i}$  im Fall  $b<0$. 

Aufgabe

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung

$z^2+5\mathrm{i}z-3=0.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die komplexen Zahlen

$(1+\mathrm{i}{)}^n$

für  $n=1,2,3,4,5$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.

1. Es ist  $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$. 
2. Es ist  $\overline{-z}=-\bar{z}$. 
3. Es ist  $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$. 
4. Für  $z\ne 0$  ist  $\overline{1/z}=1/\bar{z}$. 
5. Es ist  $\overline{\stackrel{‾}{z}}=z$. 
6. Es ist  $\bar{z}=z$  genau dann, wenn  $z\in ℝ$  ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien  $a,b,c\in ℂ$  mit  $a\ne 0$.  Zeige, dass es für die Gleichung

$a{z}^2+bz+c=0$

mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $a,b,c\in ℂ$ mit $a\ne 0$. Man charakterisiere, wann es für die Gleichung

$a{z}^2+bz+c=0$

genau eine Lösung in $ℂ$ gibt und wann zwei Lösungen.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von $\mathrm{i}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung

$z^3=1$

erfüllen.

Aufgabe (4 Punkte)

Man schreibe eine Computeranimation, die die Intervallschachtelung für die eulersche Zahl aus Fakt ***** bis zum zehnten Schritt berechnet und darstellt.