Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 10

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Zeige, dass auch das Produkt

ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Indexmenge. Zeige, dass

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein -Vektorraum ist.


Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und seien zwei Indexmengen. Zeige, dass dann in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

  1. Sei , , eine Familie von Untervektorräumen von . Dann ist auch der Durchschnitt
    ein Untervektorraum.
  2. Zu einer Familie , , von Elementen in ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum. Er stimmt mit dem Durchschnitt

    überein.

  3. Die Familie , , ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn

    ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung nur dann ein Untervektorraum ist, wenn oder gilt.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem derart, dass die Lösungsmenge unendlich ist und kein Untervektorraum ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei und ).

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Aus und folgt .


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum und von drei Teilmengen in an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper, sei eine Indexmenge, und der zugehörige Vektorraum. Zeige, dass

ein Untervektorraum von ist.

Zu jedem sei durch

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element eindeutig als Linearkombination der Familie , , darstellen lässt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und sei

Zeige, dass ein Untervektorraum des Folgenraums

ist.


In der folgenden Aufgabe - wie bei jeder Rechenaufgabe - führen „Rechenfehler“[1] zu deutlichem Punktabzug! Zum Glück gibt es hinreichend viele Beweisaufgaben.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.




Fußnoten
  1. Um das Thema Rechenfehler ranken sich weit verbreitete Mythen von Nichtmathematikern. Ein echter Rechenfehler ist so was wie , doch tritt das nicht auf. In Wahrheit verbergen sich hinter „Rechenfehlern“ substantielle Denkfehler, falsches Operieren mit Vorzeichen, Fehlinterpretation von Klammern, Vertauschungen, mangelnde Organisation der zu verarbeitenden Information, schlichtes Ignorieren von relevanten Daten, unzureichende Buchführung über Zwischenergebnisse. Bei einer „Rechenaufgabe“ geht es nicht nur darum zu zeigen, dass man ein Verfahren verstanden hat, sondern dass man ein Verfahren korrekt durchführen kann und sich nicht durch das Datenmaterial verwirren lässt..



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