Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Zeige, dass auch das Produkt

$V\times W$

ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

${}K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein ${}K$-Vektorraum ist.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von ${}V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, und seien ${}J\subseteq I$ zwei Indexmengen. Zeige, dass dann ${}K^{J}=\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Sei ${}U_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Dann ist auch der Durchschnitt

   $U=\bigcap _{j\in J}U_{j}$

   ein Untervektorraum.
2. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum. Er stimmt mit dem Durchschnitt

   $\bigcap _{U\subseteq V{\text{ Untervektorraum}},\,v_{i}\in U{\text{ für alle }}i\in I}U$

   überein.

3. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   $\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V$

   ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es seien ${}U,W\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung ${}U\cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn ${}U\subseteq W$ oder ${}W\subseteq U$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem derart, dass die Lösungsmenge unendlich ist und kein Untervektorraum ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei ${}s\in K$ und ${}v\in V$).

1. Es ist ${}0v=0$.
2. Es ist ${}s0=0$.
3. Es ist ${}(-1)v=-v$.
4. Aus ${}s\neq 0$ und ${}v\neq 0$ folgt ${}sv\neq 0$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${}V$ und von drei Teilmengen in ${}V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}I$ eine Indexmenge, und ${}K^{I}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ der zugehörige Vektorraum.

1. Zeige, dass

   ${}E={\left\{f\in K^{I}\mid f(i)=0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}}\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

2. Zu jedem ${}i\in I$ sei ${}e_{i}\in K^{I}$ durch

   ${}e_{i}(j)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=i\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

   gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element ${}f\in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie ${}e_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

${}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}K\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}C$ ein Untervektorraum des Folgenraums

${}F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}K\right\}}\,$

ist.

In der folgenden Aufgabe - wie bei jeder Rechenaufgabe - führen „Rechenfehler“ zu deutlichem Punktabzug! Zum Glück gibt es hinreichend viele Beweisaufgaben.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{3}$ den Vektor

$(2,5,-3)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,2,3),(0,1,1){\text{ und }}(-1,2,4)$

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

Fußnoten