Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 31/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine Treppenfunktion und
eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise durch Induktion die folgende Formel.
Aufgabe * Aufgabe 31.8 ändern
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen mit und eine Folge von Treppenfunktionen mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass
gilt.
Aufgabe Aufgabe 31.9 ändern
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Funktion ist Riemann-integrierbar.
- Es gibt eine Unterteilung derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.
- Für jede Unterteilung sind die Einschränkungen Riemann-integrierbar.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.
- Ist für alle , so ist .
- Ist für alle , so ist .
- Es ist .
- Für ist .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bringe die Begriffe Steuersatz und Grenzsteuersatz mit Treppenfunktionen und Treppenintegralen in Verbindung.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion
und einer Treppenfunktion
derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das bestimmte Integral
in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
mit
Zeige, dass Riemann-integrierbar ist, dass es aber keine Treppenfunktion mit der Eigenschaft gibt, dass für alle ist.
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.
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