Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/35/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	3	2	6	5	5	7	3	5	3	4	4	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
3. Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.
4. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}a\in \mathbb {R}$.

5. Eine Stammfunktion zu einer Funktion ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R}$.
6. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Konvergenz und Beschränktheit von Folgen.
2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
3. Der Satz über die Eigenschaft der Determinante, alternierend zu sein (mit Erläuterung).

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

1. Löse das folgende Minisudoku

   ${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$

2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die ${}256$, links und rechts davon stehen unendlich viele ${}1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.

1. Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als ${}6$ sind.
2. Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

1. Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom über einem Körper ${}K$ der Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$. Zeige, dass ${}F$ die ${}0$ als einzige Nullstelle besitzt.

2. Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige komplexe Nullstelle von ${}F$ ist. Zeige, dass ${}F$ die Form

   ${}F=aX^{n}\,$

   mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}a\neq 0$ hat.

3. Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${}F\in \mathbb {R} [X]$ mit der Eigenschaft, dass ${}0$ die einzige reelle Nullstelle von ${}F$ ist, dass ${}F$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Element mit ${}0\leq a<1$. Es gebe ein ${}N$ derart, dass

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

gelte für alle ${}n\geq N$. Zeige, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.

Aufgabe * (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-3}{x+2}}$ und ${}g(y)={\frac {y+4}{y^{2}-5}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung ${}h(x):=g(f(x))$.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=xe^{x}.$

Zeige durch Induktion, dass die ${}n$-te Ableitung ($n\geq 1$) von ${}f$ gleich

${}f^{(n)}(x)={\left(x+n\right)}e^{x}\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Ein Dreieck soll die Grundseite ${}[0,s]$ und die Höhe ${}h$ besitzen ($s,h>0$). Für welchen Höhenfußpunkt ${}x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe den Zusammenhang

${}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\,$

für ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$ allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&8&0\\3&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.