Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/37/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 5 6 4 2 4 2 3 3 5 4 5 3 1 5 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Eine rationale Funktion (in einer Variablen über ).
  3. Das Minimum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  6. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
  2. Der Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
  3. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f w
f w f
f f w


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.


Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) , , durch und für durch die rekursive Bedingung

  1. Berechne .
  2. Berechne .
  3. Berechne .
  4. Berechne .
  5. Zeige, dass alle rationale Zahlen sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen und

und

die zugehörigen Potenzfunktionen. Bestimme , und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit und mit für alle und ein . Zeige, dass die Funktionalgleichung

für alle erfüllt.


Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

  1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

    im Entwicklungspunkt .

  2. Es sei

    und es sei

    die Taylorreihe zu im Entwicklungspunkt . Bestimme die Koeffizienten aus der Gleichung


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang . Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.


Aufgabe * (3 (2+0.5+0.5) Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.