Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 3 3 4 4 4 2 3 5 5 12 2 4 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Eine reelle Potenzreihe.
  5. Die Matrizenmultiplikation.
  6. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  3. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  4. Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

    die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .

  5. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  6. Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Konvergenz und absolute Konvergenz von reellen Reihen.
  2. Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen
  3. Der Satz über Vektoren in einem -dimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine absolut konvergente Reihe von reellen Zahlen konvergiert.
  2. Sei ein Punkt und seien

    zwei Funktionen, die in differenzierbar seien. Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit

  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Für Vektoren in sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    1. bilden eine Basis von .
    2. bilden ein Erzeugendensystem von .
    3. sind linear unabhängig.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Diese Vorlesung versteht keine Sau“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.


Aufgabe (3 Punkte)

Squares in a square grid.svg

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.


Lösung

Die möglichen Seitenlängen sind . Ein Unterquadrat ist durch die Lage des Eckes links oben eindeutig bestimmt, man muss bei fixierter Seitenlänge nur berücksichtigen, dass das Teilquadrat ganz im Grundquadrat liegt. Somit gibt es für die Seitenlänge eine Möglichkeit, für die Seitenlänge vier Möglichkeiten, für die Seitenlänge neun Möglichkeiten, für die Seitenlänge Möglichkeiten und für die Seitenlänge Möglickeiten, Insgesamt gibt es also

Unterquadrate.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Lösung

  1. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist nicht injektiv, da zweifach getroffen wird, und nicht surjektiv, da nicht getroffen wird.
  2. Es handelt sich um keine Abbildung, da für die kein Wert festgelegt ist.
  3. Es handelt sich um eine Abbildung. Sie ist injektiv, aber nicht surjektiv (und somit nicht bijektiv), da nicht getroffen wird.
  4. Es handelt sich um eine Abbildung. Diese ist injektiv und surjektiv, also auch bijektiv.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen , die das Gleichungssystem

erfüllen.


Lösung

Wenn

ist, so sind wegen der ersten und der dritten Gleichung auch und gleich . Dies ergibt die Lösung . Es kann ansonsten nur noch Lösungen geben, wo alle Zahlen ungleich sind. Wir setzen die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten

Daraus folgt wegen durch Kürzen

Somit ist oder . Entsprechende Überlegungen führen dazu, dass auch und nur oder sein können. Bei folgt mit der ersten Gleichung

Dies führt zu den Lösungen und (wobei letzteres wegen in der Tat eine Lösung ist). Bei ist

was zu den Lösungen

und

führt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente reelle Folge beschränkt ist.


Lösung

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Lösung

  1. Es ist

    und

    Die Summe der ersten vier Stammbrüche ist also erstmals größer als .

  2. Es ist

    Wegen

    ist die Summe der ersten sieben Stammbrüche größer als .


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

  1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
  2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?


Lösung

  1. Es ist

    und

    Somit ist

    und die Ziffernentwicklung von beginnt mit , die zweite Nachkommaziffer liegt zwischen und , über die weiteren Nachkommaziffern kann man keine Aussage machen.

  2. Es ist

    und

    Somit hat man die Abschätzungen

    Die Dezimalentwicklung von beginnt also mit , ( ist ausgeschlossen, da die Division durch nicht auf die Periode führt) die dritte Nachkommaziffer ist oder oder , über die folgenden Stellen kann man keine Aussage machen.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen.


Lösung

Wir betrachten zuerst den Fall und behaupten

Für einen Punkt ist

Da nach Korollar 14.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen . Somit ist mit der Produktregel


Aufgabe weiter

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Wie viele reelle Nullstellen hat ?
  4. Wie viele komplexe Nullstellen hat ?
  5. Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
  6. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
  7. Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Wir bestimmen die Nullstellen der ersten Ableitung. Die Gleichung bzw. führt auf
    Wegen

    liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert vor und wegen

    liegt an der Stelle ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor.

  3. Aufgrund der Berechnung aus Teil (2) wissen wir, dass für

    die Funktion positiv ist. Für

    ist die Funktion streng wachsend und somit gibt es dort genau eine Nullstelle (da ein Polynom vom Grad vorliegt oder wegen

    wissen wir, dass es negative Werte gibt).

  4. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es über eine Zerlegung des Polynoms in drei Linearfaktoren. Die reelle Nullstelle ist wegen dem dortigen strengen Wachstum keine mehrfache Nullstelle, somit muss es zumindest eine nichtreelle komplexe Nullstelle geben. Zu dieser ist auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle, also gibt es genau drei komplexe Nullstellen.
  5. Die Tangente am lokalen Maximum hat die konstante Funktionsbeschreibung

    da ja die Ableitung von an dieser Stelle ist.

  6. Es geht um die mit

    bzw. mit

    Da wir die Lösung schon kennen, können wir die Division mit Rest durchführen und erhalten

    Die Schnittpunkte sind also und .

  7. Im eingeschlossenen Gebiet verläuft der Funktionsgraph unterhalt der Tangente. Ihr Flächeninhalte berechnen wir, indem wir vom Inhalt des Rechteckes den Flächeninhalt unterhalb des Graphen abziehen. Wegen der lokalen Minimumsberechnung wissen wir, dass auf die Funktion positiv ist. Eine Stammfunktion zu ist

    Somit ist

    und damit ist der gesuchte Flächeninhalt gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für die Teilmenge

welche der Untervektorraumaxiome erfüllt sind und welche nicht.


Lösung

Die Nullmatrix erfüllt wegen

die angegebene Bedingung und gehört somit zu . Wenn zwei Matrizen

und

zu gehören, so ist und . Damit ist auch

und somit gehört auch die Summe dieser Matrizen zu . Dagen ist nicht unter Skalarmultiplikation abgeschlossen. Beispielsweise gehört zu , aber

nicht.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt

()

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei . Dann ist . Damit ist

Schließlich ist

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Rang der Matrix


Lösung

Die zweite Zeile minus die erste Zeile ergibt den Standardvektor , die dritte Zeile minus die vierte Zeile ergibt . Die erste Zeile minus ergibt und die vierte Zeile minus ergibt . Der durch die Zeilen erzeugte Untervektorraum ist also vierdimensional und somit ist der Rang gleich .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung

Die inverse Matrix ist also