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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/11/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 1 5 4 8 4 6 3 4 5 5 11 3 65



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

    in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

  4. Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
  5. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.

  6. Die Integrabilitätsbedingung eines differenzierbaren Vektorfeldes

    wobei eine offene Teilmenge ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
  2. Die Formel für die Länge einer Kurve
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .


Aufgabe * (1 Punkt)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und Punkte mit

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

mit , und für alle gibt.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

  1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares (mit ) und eine stetig differenzierbare Kurve

    mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.

  2. Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

    für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.


Aufgabe * (5 Punkte)

Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).


Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)

Es sollen drei Kugeln mit Radius straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls zur Massenverteilung mit der -Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu übereinstimmt.