Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/11/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 5 | 4 | 8 | 4 | 6 | 3 | 4 | 5 | 5 | 11 | 3 | 65 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung.
- Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
- Die
Differenzierbarkeit
einer Funktion
in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
- Das charakteristische Polynom zu einem gewöhnlichen linearen Differentialgleichungsysytem mit konstanten Koeffizienten.
- Der
Gradient
einer total differenzierbaren Abbildung
in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.
- Die
Integrabilitätsbedingung
eines differenzierbaren
Vektorfeldes
wobei eine offene Teilmenge ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Stetigkeit von linearen Abbildungen.
- Die
Formel für die Länge
einer Kurve
- Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .
Aufgabe * (1 Punkt)
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und Punkte mit
Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
mit , und für alle gibt.
Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)
Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.
- Man gebe ein Beispiel für ein
diagonalisierbares
(mit
)
und eine stetig differenzierbare Kurve
mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.
- Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer
Orthonormalbasis.
Zeige, dass
für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das lineare Anfangswertproblem
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
in jedem Punkt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Zeige, dass ein Punkt genau dann ein regulärer Punkt von ist, wenn die Koordinaten von paarweise verschieden (also , und ) sind.
Aufgabe * (5 Punkte)
Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist
Die Stimmungsfunktion wird durch
beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).
Aufgabe * (11 (3+8) Punkte)
Es sollen drei Kugeln mit Radius straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn
a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,
b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass der Schwerpunkt des Intervalls zur Massenverteilung mit der -Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des Subgraphen zu übereinstimmt.