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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/6/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 4 6 3 6 4 2 5 4 4 5 3 6 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
  2. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Ein lichtartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
  4. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

    wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .

  5. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum .

  6. Der Subgraph zu einer Funktion auf einer Menge .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
  2. Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .



Aufgabe * (6 Punkte)

Finde die Lösung für das Anfangswertproblem

für mit der Anfangsbedingung .



Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.



Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve



Aufgabe * (6 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.



Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem



Aufgabe * (2 Punkte)

Eine symmetrische Bilinearform auf dem werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix

beschrieben. Berechne .



Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .



Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?



Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis .