Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/6/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 4 | 6 | 3 | 6 | 4 | 2 | 5 | 4 | 4 | 5 | 3 | 6 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
- Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
- Ein lichtartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
- Eine
höhere Richtungsableitung
zu einer Abbildung
wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .
- Ein
isoliertes lokales Maximum
einer Funktion
auf einem metrischen Raum .
- Der Subgraph zu einer Funktion auf einer Menge .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
- Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
- Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .
Aufgabe * (6 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.
Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)
Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf durch
eine Metrik definiert wird.
b) Bestimme zu und den Abstand .
c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Kurve
Aufgabe * (6 Punkte)
Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem
mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das lineare Anfangswertproblem
Aufgabe * (2 Punkte)
Eine symmetrische Bilinearform auf dem werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
(es ist also ).
a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.
b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .
Aufgabe * (4 Punkte)
Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
mit der Anfangsbedingung und .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei
ein Gradientenfeld und sei
( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis .