Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 45/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^{3}y-x^2,x^4{y}^2-3x{y}^3+5y).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${ℝ}^3⟶{ℝ}^2,(x,y,z)⟼(x^{2}y{z}^3-\sin x,\exp (x^{4}y)-2x^2{z}^3\cos (x{y}^{2}z)).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y\ne 0\}⟶ℝ,(x,y)⟼\frac{x}{y}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x^2{y}^3-x^{3}y,$

die sich mit den beiden Standardrichtungen $(1,0)$ und $(0,1)$ ausdrücken lassen.

Aufgabe Aufgabe 45.5 ändern

Zeige, dass eine Polynomfunktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Aufgabe Aufgabe 45.6 ändern

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale, $ℝ$-Vektorräume $G\subseteq V$ offen und

$\phi :G⟶W$

eine $n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede Permutation $\sigma \in S_n$ die Gleichheit

$D_{v_n}(\mathrm{...}{D}_{v_2}(D_{v_1}\phi )\dots )=D_{v_{\sigma (n)}}(\mathrm{...}{D}_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\phi )\dots )$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(x,y,z)⟼(\sin xy,x^2{y}^3{z}^4-y\sinh z,x{y}^{2}z+5).$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼x{y}^3-x^2{y}^2-4y^2.$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt $(x,y)$ in Richtung $(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor $(2,5)$ anwendet.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ$

existiert, sodass

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=xy\text{ und }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=y^2$

für alle $(x,y)\in {ℝ}^2$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f:{ℝ}^n⟶ℝ$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein  $k\in \mathbb{N}$  derart gibt, dass sämtliche $k$-ten Richtungsableitungen $0$ sind.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\phi :{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼\phi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt $P\in {ℝ}^2$

$\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}\phi (P)=0$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g:ℝ⟶ℝ$

derart gibt, dass

$\phi (x,y)=f(x)+g(y)$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

$f:{ℝ}^2⟶ℝ$

mit

$f(x,y)=\{\begin{array}{c}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{ für }(x,y)\ne (0,0),\\ 0\text{ für }(x,y)=(0,0),\end{array}$

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

$D_1{D}_{2}f(0,0)\ne D_2{D}_{1}f(0,0)$

gilt.