Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 26

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.


Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.


Aufgabe

Bestimme die Determinante von ebenen Drehungen.


Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe *

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.


Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von -Matrizen.


Aufgabe

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige


Aufgabe *

Bestimme, für welche die Matrix

invertierbar ist.


Aufgabe *

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien , und ).

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.


Aufgabe

Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.


Aufgabe

Sei und

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung auffasst.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .


Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum ?


Aufgabe


Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe *

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


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