Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 25

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?


Aufgabe *

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe

Es sei eine -Matrix und die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn es eine -Matrix mit gibt.


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix von


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.


Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?


Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

als Matrizenprodukt schreiben kann, wobei und Diagonalmatrizen sind und eine Scherungsmatrix der Form ist.


Aufgabe *

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine komplexe Zahl und es sei

die dadurch definierte Multiplikation, die eine -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis und aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen und mit den beiden reellen Matrizen und die Produktmatrix die beschreibende Matrix zu ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


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