Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 26

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„Man muß nur Ein Wesen recht von Grund aus lieben, da kommen einem die übrigen alle liebenswürdig vor!“
Johann Wolfgang von Goethe



Rang von Matrizen

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben



Lemma

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde.

Dann gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 26.21.


Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer -Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von ein.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Wenn man im Sinne von Satz 21.9 mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von .

Beweis  

Es sei die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von und von übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von stimmt also mit dem Zeilenrang von überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang , da die ersten Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang , da die Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser Spalten sind. Die Aufgabe 26.2 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.


Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.



Korollar  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist invertierbar.
  2. Der Rang von ist .
  3. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  4. Die Spalten von sind linear unabhängig.

Beweis  

Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus Lemma 26.3.
Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch definierte lineare Abbildung

Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von Korollar 25.4 äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach Lemma 25.11 äquivalent zur Invertierbarkeit der Matrix.




Determinanten

Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.


Beispiel  

Für eine -Matrix

ist


Als Merkregel für eine -Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel  

Für eine -Matrix ist

Dies nennt man die Regel von Sarrus.




Lemma  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix .

Beweis  

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.




Multilinearität

Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine „multilineare“ „alternierende“ Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

vornimmt, bei der einer Matrix das -Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel

auf, wobei die einzelnen Einträge Zeilenvektoren der Länge sind.



Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann ist die Determinante

multilinear.

D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit

und für die Gleichheit

gilt.

Beweis  



Satz  

Es sei ein Körper und . Dann besitzt die Determinante

folgende Eigenschaften.

  1. Wenn in zwei Zeilen übereinstimmen, so ist . D.h., dass die Determinante alternierend ist.
  2. Wenn man in zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor .

Beweis  




Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  2. ist invertierbar.

Beweis  

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 26.4 gezeigt. Seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass ist. Dann ist nach Satz 26.9 und Satz 26.10


Seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.


Determinant parallelepiped.svg


Bemerkung  

Bei steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im Vektoren betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.




Der Determinantenmultiplikationssatz und Folgerungen

Wir besprechen weitere wichtige Sätze über Determinanten, die wir aber nicht beweisen werden. Die Beweise beruhen auf einer systematischeren Untersuchung der für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein. Durch diese beiden Eigenschaften zusammen mit der Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich ist, ist die Determinante nämlich schon eindeutig festgelegt.


Satz

Es sei ein Körper und .

Dann gilt für Matrizen die Beziehung


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann nennt man die -Matrix

die transponierte Matrix zu .

Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist


Satz

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über .

Dann ist

Daraus folgt, dass man die Determinante auch berechnen kann, indem man „nach einer Zeile entwickelt“, wie die folgende Aussage zeigt.



Korollar  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei für jedes feste bzw. )

Beweis  

Für ist die erste Gleichung die rekursive Definition der Determinante. Daraus folgt die Aussage für aufgrund von Satz 26.15. Durch Spalten- und Zeilenvertauschung folgt die Aussage daraus allgemein, siehe Aufgabe 26.12.




Die Determinante einer linearen Abbildung

Es sei

eine lineare Abbildung eines Vektorraumes der Dimension in sich. Diese wird bezüglich einer Basis durch eine Matrix beschrieben. Es liegt nahe, die Determinante dieser Matrix als Determinante der linearen Abbildung zu definieren, doch hat man hier das Problem der Wohldefiniertheit: die lineare Abbildung wird bezüglich einer anderen Basis durch eine „völlig“ andere Matrix beschrieben. Allerdings besteht zwischen den zwei beschreibenden Matrizen und und der Basiswechselmatrix aufgrund von Korollar 25.9 die Beziehung . Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes ist daher

so dass die folgende Definition in der Tat unabhängig von der Wahl einer Basis ist.


Definition  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man

die Determinante der linearen Abbildung .


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