Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 27

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Überprüfe, ob der Vektor ein Eigenvektor zur Matrix

ist und bestimme, falls ein Eigenvektor vorliegt, den zugehörigen Eigenwert.


Aufgabe

Bestimme die Eigenvektoren und die Eigenwerte zu einer linearen Abbildung

die durch eine Matrix der Form gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass der erste Standardvektor ein Eigenvektor zu einer jeden oberen Dreiecksmatrix ist. Was ist der Eigenwert?


Aufgabe *

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass jede Matrix

mindestens einen Eigenwert besitzt.


Aufgabe

Es seien

Endomorphismen auf einem -Vektorraum und es sei ein Eigenvektor von und von . Zeige, dass auch ein Eigenvektor von ist. Was ist der Eigenwert?


Aufgabe

Es sei ein Isomorphismus auf einem -Vektorraum mit der Umkehrabbildung . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

derart, dass keine Eigenwerte besitzt, dass aber eine gewisse Potenz , , Eigenwerte besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung mit

für ein gewisses .[1] Zeige, dass jeder Eigenwert von die Eigenschaft besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von[2] ist.


Aufgabe

Es sei eine quadratische Matrix, die man als Blockmatrix

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige, dass eine Zahl genau dann ein Eigenwert von ist, wenn ein Eigenwert von oder von ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum

eine lineare Abbildung und . Zeige folgende Aussagen.

  1. Der Eigenraum

    ist ein Untervektorraum von .

  2. ist genau dann ein Eigenwert zu , wenn der Eigenraum nicht der Nullraum ist.
  3. Ein Vektor , ist genau dann ein Eigenvektor zu , wenn ist.


Aufgabe

Es bezeichne die Menge aller reellen Polynome vom Grad . Bestimme die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume zum Ableitungsoperator


Der Begriff des Eigenvektors ist auch für unendlichdimensionale Vektorräume definiert und wichtig, wie die folgende Aufgabe zeigt.

Aufgabe

Es sei der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von nach besteht.

a) Zeige, dass die Ableitung eine lineare Abbildung von nach ist.


b) Bestimme die Eigenwerte der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor.[3]


c) Bestimme zu jeder reellen Zahl die Eigenräume und deren Dimension.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Sei und sei

der zugehörige Eigenraum. Zeige, dass sich zu einer linearen Abbildung

einschränken lässt, und dass diese Abbildung die Streckung um den Streckungsfaktor ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal viele Eigenwerte zu gibt.




Aufgaben zum Abgeben
Homothety in two dim.svg

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Streckung ist, wenn jeder Vektor ein Eigenvektor von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix

Zeige, dass als reelle Matrix keine Eigenwerte besitzt. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von als komplexer Matrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die reellen Matrizen

Man charakterisiere in Abhängigkeit von , wann eine solche Matrix
  1. zwei verschiedene Eigenwerte,
  2. einen Eigenwert mit einem zweidimensionalen Eigenraum,
  3. einen Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum,
  4. keinen Eigenwert,

besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein zugehöriger Eigenvektor. Zeige, dass es zu einer gegebenen Basis von eine Basis gibt mit und mit

für alle .

Zeige ebenso, dass dies bei nicht möglich ist.




Fußnoten
  1. Der Wert ist hier erlaubt, aber aussagelos.
  2. Der Ausdruck bedeutet, dass man die lineare Abbildung in das Polynom einsetzt. Dabei muss man als , also als die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.
  3. In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen.


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