Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 9

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„Kultur ist Reichtum an Problemen.“
Egon Friedell



Reihen

Wir haben in der letzten Vorlesung gesagt, dass man eine Dezimalentwicklung, also eine (unendliche) Ziffernfolge mit Ziffern zwischen und als eine wachsende Folge von rationalen Zahlen auffassen kann. Dabei hat die -te Nachkommastelle die Bedeutung, dass zur vorhergehenden Approximation hinzu zu addieren ist. Die Ziffernfolge gibt also in Verbindung mit den inversen Zehnerpotenzen die Differenz der Folgenglieder an, und die Folgenglieder ergeben sich durch Aufsummieren dieser Differenzen. Diese Sichtweise führt zum Begriff der Reihe.


Definition  

Sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen

Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls

und nennt ihn die Summe der Reihe.

Alle Begriffe für Folgen übertragen sich auf Reihen, indem man eine Reihe als Folge der Partialsummen auffasst. Wie schon bei Folgen kann es sein, dass die Summation nicht bei , sondern bei einer anderen Zahl beginnt.


Beispiel  

Wir wollen die Reihe

berechnen, wozu wir zuerst eine Formel für die -te Partialsumme angeben. Es ist

Diese Folge konvergiert gegen , so dass die Reihe konvergiert und ihre Summe gleich ist.




Lemma

Es seien

konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen und . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
  2. Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .

Beweis

Siehe Aufgabe 9.6.



Lemma

Es sei

eine Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle

die Abschätzung

gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 9.7.




Lemma  

Es sei

eine konvergente Reihe von reellen Zahlen.

Dann ist

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 9.3.


Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.

Es ist also eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Diese Bedingung ist nicht hinreichend, wie die harmonische Reihe zeigt.


Beispiel  

Die harmonische Reihe ist die Reihe

Es geht also um die „unendliche Summe“ der Stammbrüche

Diese Reihe divergiert: Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.10 nicht konvergent sein.


Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.

Die folgende Aussage heißt Leibnizkriterium für alternierende Reihen.


Satz  

Sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann konvergiert die Reihe .

Beweis  




Absolute Konvergenz

Definition  

Eine Reihe

von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

konvergiert.



Satz  

Beweis  

Es sei vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Daher ist

was die Konvergenz bedeutet.



Beispiel  

Eine konvergente Reihe muss nicht absolut konvergieren, d.h. Satz 9.9 lässt sich nicht umkehren. Aufgrund des Leibnizkriteriums konvergiert die alternierende harmonische Reihe

und zwar ist ihr Grenzwert , was wir hier aber nicht beweisen. Die zugehörige absolute Reihe ist aber die harmonische Reihe, die nach Beispiel 9.6 divergiert.


Die folgende Aussage heißt das Majorantenkriterium.



Satz  

Sei eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und eine Folge reeller Zahlen mit für alle .

Dann ist die Reihe

absolut konvergent.

Beweis  

Das folgt direkt aus dem Cauchy-Kriterium.



Beispiel  

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel 9.2 heran, wo wir die Konvergenz von gezeigt haben. Für ist

Daher konvergiert und somit auch . Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden kann man zeigen, dass diese Summe gleich ist.




Die geometrische Reihe und das Quotientenkriterium
Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu . Die Grundseite des Quadrates sei , dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist .


Die Reihe heißt geometrische Reihe zu , es geht also um die Summe

Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von ab.



Satz  

Für alle reellen Zahlen mit konvergiert die Reihe absolut und es gilt

Beweis  

Für jedes und jedes gilt die Beziehung

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )

Für und konvergiert dies wegen Lemma 8.1 und Aufgabe 8.22 gegen .


Die folgende Aussage heißt Quotientenkriterium.



Satz  

Es sei

eine Reihe von reellen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit

für alle (insbesondere sei für ).

Dann konvergiert die Reihe absolut.

Beweis  

Die Konvergenz[1] ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.



Beispiel  

KochFlake.svg

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur entsteht aus , indem man in jeder Begrenzungskante von das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei der Flächeninhalt und die Länge des Randes der -ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge konvergiert und die Folge bestimmt gegen divergiert.

Die Anzahl der Kanten von ist , da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht aus Kanten der Länge und die Gesamtlänge der Kanten von ist gleich

Wegen divergiert dies gegen .

Beim Übergang von nach kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge ist (Grundseite mal Höhe durch ). Im Schritt von nach kommen somit Dreiecke mit dem Flächeninhalt hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von gleich

Wenn wir hinten die erste und den Faktor ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu , welche konvergiert.




Fußnoten
  1. Wohl aber die Summe.


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