Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 11

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„Kunst gibt nicht das Sichtbare wieder, sondern Kunst macht sichtbar“



Der Zwischenwertsatz

Wir interessieren uns dafür, was unter einer stetigen Abbildung mit einem Intervall passiert. Die Werte und gehören natürlich zum Bild. Der Zwischenwertsatz besagt, dass alle Zahlen zwischen und ebenfalls zum Bild des Intervalls gehören.

Intermediatevaluetheorem.svg




Satz  

Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und .

Dann gibt es ein mit .

Beweis  

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Die in diesem Beweis beschriebene Methode ist konstruktiv und kann zu einem expliziten Verfahren ausgebaut werden.



Korollar  

Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion mit und .

Dann gibt es ein mit und mit ,

d.h. besitzt eine Nullstelle zwischen und .

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 11.1.



Verfahren  

Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion mit und . Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man wie im Beweis des Zwischenwertsatzes beschrieben durch eine Intervallhalbierung finden. Dabei setzt man und , die weiteren Intervallgrenzen werden induktiv derart definiert, dass und gilt. Man setzt und berechnet . Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Vorgängerintervalls und es liegt eine Intervallhalbierung vor. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl ist eine Nullstelle der Funktion.


Beispiel  

Wir wollen eine Nullstelle des Polynoms

mit Hilfe von Verfahren 11.3 approximieren. Es ist und , es muss also nach Korollar 11.2 eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten

Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist

Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen und gibt.


Bemerkung  

Die Existenz von beliebigen Wurzeln aus nichtnegativen reellen Zahlen folgt aus dem Zwischenwertsatz, da die stetige Funktion zu sowohl negative als auch positive Werte annimmt und daher auch eine Nullstelle haben muss. Der Beweis zu Satz 8.13 beruht auf dem Verfahren des Zwischenwertsatzes, ohne dass explizit auf die Stetigkeit Bezug genommen wird.



Beispiel  

Ein regelmäßiger quadratischer Tisch mit vier Beinen steht auf einem unebenen, aber stufenfreien Untergrund. Im Moment steht er auf den Beinen und das Bein ragt in die Höhe (wenn man in ihrer Position belässt und auf den Boden drückt, würde versinken). Wir behaupten, dass man den Tisch durch eine (maximal Viertel)-Drehung um die eigene Achse (sagen wir gegen den Uhrzeigersinn) in eine Position bringen kann, wo er auf allen vier Beinen steht (wobei der Tisch nicht unbedingt genau horizontal stehen muss). Dazu betrachten wir die Funktion, die einem Drehwinkel (zwischen und Grad) die Höhe des Beines über dem Grund zuordnet, wenn die drei übrigen Beine auf dem Boden stehen (würden). Dabei kann diese Höhe auch negativ werden (was sich bei einem sandigen Untergrund praktisch realisieren lässt; sonst denke man sich dies „virtuell“). Bei Grad ist die Höhe positiv. Bei Grad erhält man eine Situation, die symmetrisch zur Ausgangssposition ist, wobei aber nach wie vor die Beine auf dem Boden sein sollen. Wegen der in der Klammer formulierten Beobachtung muss die Höhe von negativ sein. Die Funktion hat also auf dem Intervall sowohl positive als auch negative Werte. Da sie wegen der Stufenfreiheit stetig ist, besitzt sie nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle.




Stetige bijektive Funktionen und ihre Umkehrfunktion

Für eine bijektive stetige Funktion auf einem reellen Intervall ist die Umkehrabbildung wieder stetig. Dies ist keineswegs selbstverständlich.



Satz  

Es sei ein Intervall und

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

ist ebenfalls stetig.

Beweis  




Wurzelfunktionen
RacineNieme.svg



Satz  

Sei . Für ungerade ist

die Potenzfunktion

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

ist streng wachsend und stetig.

Für gerade ist die Potenzfunktion

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

ist streng wachsend und stetig.

Beweis  

Die Stetigkeit ergibt sich aus Korollar 10.7. Das strenge Wachstum für folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades folgt das strenge Wachstum für aus der Beziehung und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für ist , woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher bzw. . Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Satz 11.7.



Beispiel  

Die Schallgeschwindigkeit auf der Erde ist abhängig von der Temperatur. Wenn man mit der absoluten Temperatur (gemessen in Kelvin) arbeitet, so gilt die Beziehung

wobei die Schallgeschwindigkeit in gemessen wird. Für ist also die Schallgeschwindigkeit ungefähr gleich .




Der Satz von Bolzano-Weierstraß


Die folgende Aussage heißt Satz von Bolzano-Weierstraß.



Satz  

Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.

Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.

Beweis  

Die Folge sei durch

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist . Sei das -te Intervall bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

mit . Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 8.18 gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl .




Minima und Maxima
Extrema example it.svg

Definition  

Sei eine Menge und

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn

und dass das Minimum annimmt, wenn

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch von dem globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.


Definition  

Sei eine Teilmenge und sei

eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

gilt.

Wenn für alle gilt, so spricht man von einem isolierten Maximum.



Satz  

Sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein mit

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis  


Mit der Differentialrechnung werden wir bald schlagkräftige Methoden kennenlernen, um Minima und Maxima zu bestimmen.


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