Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 50
- Übungsaufgaben
Es sei ein Monom und es sei eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, .
- Zeige
falls für ein ist.
- Zeige
falls für alle ist.
Es sei ein Monom und es sei eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, .
- Zeige
falls für ein ist.
- Zeige
Kommentar:
Das Taylor-Polynom from Grad in ist von der Form
wobei für die Koeffizienten gilt. Dabei soll sein. Außerdem ist ein Multiindex. Diese Multiindexschreibweise bedeutet, dass beispielsweise als interpretiert wird, und ist sehr nützlich, da die Schreibweise eine sehr kompakte Form ermöglicht. Komplett ausgeschrieben (also ohne Multiindexnotation) ist das Taylor-Polynom von der Form
Hier haben wir die Terme, die den gleichen Grad besitzen, zur besseren Übersicht geklammert.
Zu bestimmen sind nun die Koeffizienten . Für gilt beispielsweise
Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen kann, was die Rechnung manchmal vereinfachen kann. (Zum Beispiel ist damit direkt klar, dass ist, ohne zunächst explizit nach abzuleiten.)
Oft bietet es sich an, weitere Vorüberlegungen zu tätigen, bevor man alle Koeffizienten einzeln ausrechnet, um etwas Rechenaufwand zu sparen. In unserem Fall ist beispielsweise die vorliegende Funktion die Summe der Funktionen und . Entsprechend ist das Taylor-Polynom die Summe der Taylor-Polynome der beiden Summanden.
Der erste Summand ist selbst ein Polynom vom Grad , sodass das zugehörige Taylor-Polynom auch ist. Dazu müssen wir also gar nichts rechnen.
Für den zweiten Summanden sehen wir, dass die höheren partiellen Ableitungen immer Null sind, wenn wir mindestens zweimal nach ableiten, sodass direkt klar ist, dass die zugehörigen Koeffizienten im Taylor-Polynom verschwinden.
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .
Es sei
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien
zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.
Kommentar:
Möchte man ein Gegenbeispiel zu einer Aussage finden, so ist es sinnvoll an eine möglichst einfach Situation zu denken. In diesem Fall können wir uns beispielsweise fragen, ob die Aussage für Funktionen in einer Variablen gilt. Falls dies nicht der Fall ist, so kann die Aussage erst recht nicht für Funktionen in mehrenen Variablen gelten.
Wir können die Situation noch viel weiter vereinfachen, indem wir sehr spezielle Funktionen wählen. Hier bietet es sich an, anzunehmen, dass und bereits selbst Polynome vom Grad in einer Variablen sind. Die Taylor-Polynome im Punkt vom Grad lassen sich daran direkt ablesen als und .
Außerdem ergibt sich, dass das Taylor-Polynom vom Produkt vom Grad genau
ist. Dieser Ausdruck stimmt offenbar nicht mit dem Produkt der beiden Taylor-Polynome vom Grad
überein, falls wir die Koeffizienten geeignet wählen.
Dieses Beispiel veranschaulicht aber sehr schön, dass die beiden Ausdrücke bis zum Grad übereinstimmen und sich erst im Grad unterscheiden. Diese Beobachtung gilt auch allgemeiner: Falls wir die Taylor-Polynome bis zum Grad von Funktionen und kennen, so können wir aus dem Produkt dieser Polynome das Taylor-Polynom vom Grad der Funktion bestimmen. Diese Aussage soll in Aufgabe ***** gezeigt werden.
Es sei offen, und
eine Funktion. Sei . Zeige, falls für eine Konstante und alle in einer offenen Umgebung von die Abschätzung gilt, dass dann folgt.
Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus im Allgemeinen nicht die Abschätzung folgt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung im Punkt algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien
zwei -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen und in vom Grad . Zeige, dass das Produkt ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom von in vom Grad die Beziehung
besteht, wobei der Subskript bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad genommen wird.
Aufgabe (5 Punkte)
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