Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.


Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und seien

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 48.4.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 48.4 auf das Diagramm

an, um zu zeigen, dass die Gleichung
gilt.


Aufgabe *

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und


Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition in folgenden Schritten.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Zeige


Aufgabe

Es seien

und

in bzw. in total differenzierbare Abbildungen. Es sei ein Vektor. Zeige mit der Kettenregel, dass

gilt.


Aufgabe

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch stetig differenzierbar ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass nicht partiell differenzierbar ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für partiell differenzierbare Funktionen und derart, dass auch partiell differenzierbar ist, dass aber

nicht gilt.


Aufgabe

Es seien und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass und -fach stetig differenzierbar sind. Zeige, dass auch -fach stetig differenzierbar ist.


Aufgabe

Sei

eine Funktion. Zeige, dass die Funktion

genau dann im Punkt total differenzierbar ist, wenn in stetig ist.


Aufgabe

Seien und euklidische Vektorräume, offen und sei

eine Abbildung. Zeige, dass genau dann stetig differenzierbar ist, wenn total differenzierbar ist und wenn die Abbildung

stetig ist.


Aufgabe

Sei differenzierbar im Nullpunkt und eine Folge in mit

Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition veranschaulichen.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

mit

und

Berechne das totale Differential von in einem beliebigen Punkt auf vier verschiedene Arten.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass genau dann eine Verschiebung ist, also von der Art mit einem festen Vektor , wenn

für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung

differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Mengen, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

in differenzierbar ist mit

Tipp: Verwende Aufgabe 48.12 und die Kettenregel.

Aufgabe (10 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Kurve

und eine stetige Funktion,

für die die Richtungsableitung in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung

nicht differenzierbar ist.



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