Kurs:Mathematik für Anwender II/1/Klausur

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

2. Eine polynomiale Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$

3. Der Eigenraum zu ${}\lambda \in K$ und einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1},V_{2}$.
7. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$ in einem Punkt ${}P\in V$.

8. Eine harmonische Funktion

   $u\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
3. Der Satz von Schwarz.
4. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) um die ${}x$-Achse zu einer stetigen Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }F$ zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (y,x),$

längs des Weges

$\gamma \colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,e^{t}).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}-2&-4&2\\0&2&3\\0&6&1\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=(y')^{2}+2y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},$

im Punkt ${}(1,1)$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in [0,1]$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(a,b,c,d,u,v)\longmapsto (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^{2},bd-c^{2}).$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}(1,1,0,0,1,1)$ regulär ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=0$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$G\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto \left(ye^{xy}+\ln z,\,xe^{xy}-2yz,\,{\frac {x}{z}}-y^{2}\right).$

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ${}G$ ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu ${}G$.

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte ${}P$ mit Radius ${}1$ und Mittelpunkt ${}(0,0)$ sei durch

${}f(x,y)=x^{2}y+1\,$

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von ${}P$.

b) Bestimme den Schwerpunkt von ${}P$.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3},$

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} +\mathbb {R} {\mathrm {i} }\cong \mathbb {R} ^{2}$).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ${}f$) harmonische Funktionen sind.

Hilfsmittel

${}\arcsin {\left(0,6\right)}=0,643501109...\,$

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