Kurs:Mathematik für Anwender II/1/Klausur

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  2. Eine polynomiale Funktion
  3. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  5. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
  7. Die Jacobi-Determinante zu einer total differenzierbaren Abbildung

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum in einem Punkt .

  8. Eine harmonische Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .


Aufgabe * (Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen mit Hilfe des charakteristischen Polynoms.
  3. Der Satz von Schwarz.
  4. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers (zum Subgraphen) um die -Achse zu einer stetigen Funktion .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Länge der durch

gegebenen Schraubenlinie für zwischen und , wobei .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

mit

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Zeige, dass die Abbildung

() eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Auf einer kreisförmigen Platte mit Radius und Mittelpunkt sei durch

eine Massenverteilung gegeben.

a) Bestimme die Gesamtmasse von .

b) Bestimme den Schwerpunkt von .


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Schreibe die komplexe Abbildung

in reellen Koordinaten (mit Hilfe der Identifizierung ).

b) Zeige, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) (also der Realteil und der Imaginärteil von ) harmonische Funktionen sind.




Hilfsmittel

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