Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 14/kontrolle
- Aufgaben
Es sei eine riemannsche Fläche. Untersuche das Nullstellengebilde zu einem Polynom der Form .
Es sei eine riemannsche Fläche. Bestimme das Nullstellengebilde zu einem Polynom über für den Fall, dass die holomorphen Funktionen konstant sind.
Bestimme, ob das Polynom irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.
Beweise Lemma 14.2 (4) unter der schwächeren Bedingung, dass zusammenhängend ist und dass und keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen.
Bestimme die Resultante von einem quadratischen Polynom und seiner formalen Ableitung .
Bestimme für das Polynom , wobei die Variable von bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde zu . Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.
Bestimme für das Polynom , wobei die Variable von bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde zu . Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.
Bestimme für das Polynom , wobei die Variable von bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde zu . Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde. Ist irreduzibel?
Es sei eine riemannsche Fläche, seien holomorphe Funktionen auf und sei das Nullstellengebilde zu . Es sei eine weitere holomorphe Funktion auf . Es sei das Polynom in der neuen Variablen , das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt und sei das zugehörige Nullstellenmenge zu .
- Stifte eine bijektive Abbildung zwischen und , die mit den Projektionen nach verträglich ist.
- Zeige, dass unter die unverzweigten Nullstellengebilde ineinander überführt werden.
- Zeige, dass unter die glatten Nullstellengebilde ineinander überführt werden und dass darauf biholomorph ist.
Bestimme in Beispiel 14.9 die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes nach und nach im Sinne von Satz 14.11.
Bestimme in Beispiel 14.10 die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes nach und nach im Sinne von Satz 14.11.
Es sei eine riemannsche Fläche und ein normiertes Polynom über mit dem unverzweigten Nullstellengebilde und der zugehörigen Fortsetzung im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass das glatte Nullstellengebilde zu eine offene Teilmenge von ist.
Es sei eine riemannsche Fläche und ein normiertes Polynom über mit dem unverzweigten Nullstellengebilde und der zugehörigen Fortsetzung im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass wenn nicht irreduzibel ist, dann nicht zusammenhängend ist.
Zeige, dass in der Situation von Satz 14.11 eine Überlagerung im Allgemeinen nicht zu einer Überlagerung fortgesetzt werden kann.
Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei die Homogenisierung des Polynoms eine riemannsche Fläche in definiert und die Fortsetzung beschreibt.
Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei die Homogenisierung des Polynoms keine riemannsche Fläche in definiert.