Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 21

Aufgaben

Aufgabe

Es sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und sei $𝒢$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zeige

${\check{H}}^0(U_i,i\in I,𝒢)=\mathrm{\Gamma }(X,𝒢).$

Aufgabe

Es sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ und sei $𝒢$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei  $s\in {\check{C}}^k(U_i,𝒢)$  ein Čech-Kozykel, der für ein bestimmtes  $J=\{i_0,i_1,\dots ,i_k\}\subseteq I$  den Wert  $a\in \mathrm{\Gamma }(U_J,𝒢)$  und für alle anderen $(k+1)$-elementigen Teilmengen  $J^{\prime }\ne J$  den Wert $0$ besitzt. Bestimme  $\delta (s)\in {\check{C}}^{k+1}(U_i,𝒢)$. 

Aufgabe *

Zeige, dass der Čech-Komplex in der Tat ein Komplex ist.

Aufgabe

Wir betrachten auf dem Kreis $S^1$ die Überdeckung mit drei offenen (zu reellen Intervallen homöomorphen) Kreissegmenten  $S^1=U_1\cup U_2\cup U_3$,  deren Durchschnitte $U_i\cap U_j$ Intervalle seien. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und $𝒢$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Bestimme ${\check{H}}^1(U_1,U_2,U_3,𝒢)$.

Aufgabe

Es sei  $X=A\cup B$  die Vereinigung von zwei Kreisen, die sich in einem Punkt $P$ treffen (also eine „Acht“). Wir betrachten die offene Überdeckung $U_1,U_2,U_3$ von $X$, wobei $U_1$ eine offener Dreiviertelkreis von $A$ ist, der $P$ nicht enthält, wobei $U_2$ ein offener Dreiviertelkreis von $B$ ist, der $P$ nicht enthält, und wobei $U_3$ den Punkt $P$ enthält und von beiden Kreisen einen offenen Halbkreis ausschneidet. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und $𝒢$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf $X$. Bestimme ${\check{H}}^1(U_1,U_2,U_3,𝒢)$.

Aufgabe *

Auf der Kugeloberfläche $S^2$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien $K_1,K_2,K_3$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist

$U_i=S^2\setminus K_i$

homöomorph zum ${ℝ}^2$, der Durchschnitt

$U_1\cap U_2=S^2\setminus (K_1\cup K_2)$

ist ebenfalls homöomorph zum ${ℝ}^2$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt $U_1\cap U_2\cap U_3$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum ${ℝ}^2$ sind. Es sei $G$ eine diskrete topologische Gruppe und $𝒢$ die zugehörige Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $G$. Bestimme den Čech-Komplex zu dieser Überdeckung und berechne ${\check{H}}^1(U_i,𝒢)$ und ${\check{H}}^2(U_i,𝒢)$.

Aufgabe

Wir betrachten einen Torus

$X\cong S^1\times S^1$

und darauf einen Kreis  $Z=S^1\times \{P\}$.  Es sei  $W\cong S^1\times I$  ein offener Streifen um $Z$ und es sei

$W=U_1\cup U_2,$

wobei $U_1,U_2$ homöomorph zu offenen Rechtecken seien und sich an den jeweiligen Enden überlappen (es liegt also um den Kreis eine Verdickung der Situation aus Beispiel 21.7 vor). Es sei

$U_3=T\setminus Z.$

Berechne ${\check{H}}^1(U_1,U_2,U_3,𝒢)$, wobei $𝒢$ die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in einer kommutativen Gruppe $G$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $ℒ$ eine invertierbare Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen auf $X$. Bestimme eine Beschreibung von $ℒ$ als Čech-Kozykel von ${𝒪}_X^{\times }$.

Aufgabe

Es sei $𝒢$ eine welke Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung. Zeige

${\check{H}}^1(U_i,i\in I,𝒢)=0.$

Aufgabe

Es seien

$X=\bigcup _{i\in I}{U}_i=\bigcup _{j\in J}{V}_j$

offene Überdeckungen eines topologischen Raumes $X$. Zeige, dass

$W_{ij}:=U_i\cap V_j$

mit der Indexmenge $I\times J$ eine gemeinsame Verfeinerung der beiden Überdeckungen ist.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $𝒢$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Es sei $U_i$, $i\in I$, eine offene Überdeckung von $X$, die eine Verfeinerung der offenen Überdeckung $V_j$, $j\in J$, sei. Zeige, dass die Verfeinerungsabbildung

${\check{H}}^1(𝔙,ℱ)⟶{\check{H}}^1(𝔘,ℱ)$

unabhängig von der Indexabbildung $\alpha :I\to J$ ist.

Aufgabe *

Es sei $𝒢$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$, es sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung und sei  $g_{ij}\in \mathrm{\Gamma }(U_i\cap U_j,𝒢)$  ein Čech-Kozykel zur gegebenen Garbe und Überdeckung. Es sei  $\alpha ,\beta \in I$  mit

$g_{\alpha ,\beta }=h_{\alpha }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}-h_{\beta }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$

mit  $h_{\alpha }\in \mathrm{\Gamma }(U_{\alpha },𝒢)$  und  $h_{\beta }\in \mathrm{\Gamma }(U_{\beta },𝒢)$.  Es sei  $J=I\setminus \{\alpha ,\beta \}$  und  $W=U_{\alpha }\cup U_{\beta }$.  Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie $U_j$, $j\in J$, zusammen mit $W$ ist ebenfalls eine offene Überdeckung von $X$.
2. Zu  $i\in J$  sind

   $f_i=\{\begin{array}{c}{g}_{i\alpha }+h_{\alpha }\text{ auf }{U}_i\cap U_{\alpha },\\ g_{i\beta }+h_{\beta }\text{ auf }{U}_i\cap U_{\beta },\end{array}$

   wohldefinierte Schnitte aus $\mathrm{\Gamma }(U_i\cap W,𝒢)$.

3. Die Familie $g_{ij}$,  $i,j\in J$  und $f_i$ aus $\mathrm{\Gamma }(U_i\cap W,𝒢)$ zu  $i\in J$  ist ein Kozykel zu $𝒢$ zur Überdeckung aus (1).
4. Der Kozykel aus (2) definiert die gleiche erste Čech-Kohomologieklasse wie der ursprüngliche Kozykel.

In den folgenden Aufgaben beschreiben wir eine Interpretation der ersten Kohomologiegruppe zur Garbe der lokal konstanten Funktionen in einer diskreten Gruppe mit Hilfe von Überlagerungen.

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe. Eine Überlagerung $p:Y\to X$ heißt eine $G$-Überlagerung, wenn eine fasertreue Gruppenoperation $G\times Y\to Y$ fixiert ist derart, dass es eine offene Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  gibt und $G$-invariante Homöomorphismen

$G\times U_i⟶p^{-1}(U_i)$

über $U_i$.

In der folgenden Aufgabe wird die triviale $G$-Überlagerung beschrieben.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe. Zeige, dass $G\times X$, wobei $G$ mit der diskreten Topologie versehen wird, in natürlicher Weise eine $G$-Überlagerung von $X$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass zwei $G$-Überlagerungen $p_1,p_2:Y\to X$ als Überlagerungen isomorph sein können, ohne dass sie als $G$-Überlagerungen isomorph sind.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $G$ eine Gruppe und $p:Y\to X$ eine $G$-Überlagerung. Zeige, dass es sich um eine normale Überlagerung handelt.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $G$ eine Gruppe und $p:Y\to X$ eine $G$-Überlagerung. Zeige, dass $G$ eine Untergruppe der Decktransformationsgruppe ist.

Ohne weitere Voraussetzung kann bei einer $G$-Überlagerung die Decktransformationsgruppe größer als $G$ sein, wie schon die triviale $G$-Überlagerung zeigt.

Aufgabe

Es sei $p:Y\to X$ eine normale Überlagerung mit $Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend. Es sei $G$ die Decktransformationsgruppe. Zeige, dass $Y$ eine $G$-Überlagerung ist.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl,  $G=\mathbb{Z}/(p)$  und  $k\in \mathbb{Z}/(p)$.  Es sei  $X={ℂ}^{\times }$.  Wir ordnen $k$ eine $G$-Überlagerung $p:Y\to X$ in der folgenden Weise zu: Wenn  $k=0$  ist, so nimmt man die $p$-fache disjunkte Vereinigung von ${ℂ}^{\times }$ und lässt den Erzeuger der Gruppe durch eine zyklische Vertauschung der Kopien operieren. Wenn $k$ eine Einheit modulo $p$ ist, so ist  $Y={ℂ}^{\times }$,  die Abbildung ist die Potenzierung $z\mapsto z^p$ und die $G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit ${\zeta }^k$ wirkt, wobei $\zeta$ eine fixierte $p$-te primitive Einheitswurzel ist. Zeige, dass dabei nichtisomorphe $G$-Überlagerungen entstehen.

Aufgabe *

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Menge der $G$-Überlagerungen (wobei $G$-isomorphe Überlagerungen miteinander identifiziert werden) in einer natürlichen Bijektion mit der ersten Kohomologiegruppe ${\check{H}}^1(X,G)$, wobei $G$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in $G$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $\phi :ℱ\to 𝒢$ ein Homomorphismus zwischen den Garben von kommutativen Gruppen $ℱ$ und $𝒢$ auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu einer offenen Überdeckung  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check{H}}^1(U_i,ℱ)⟶{\check{H}}^1(U_i,𝒢).$

2. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\check{H}}^1(X,ℱ)⟶{\check{H}}^1(X,𝒢).$

Aufgabe

Es sei

$0\stackrel{}{⟶}ℱ\stackrel{}{⟶}𝒢\stackrel{}{⟶}\mathscr{H}\stackrel{}{⟶}0$

eine kurze exakte Sequenz von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass dann eine lange exakte Sequenz

$0⟶\mathrm{\Gamma }(X,ℱ)⟶\mathrm{\Gamma }(X,𝒢)⟶\mathrm{\Gamma }(X,\mathscr{H})\stackrel{\delta }{⟶}{\check{H}}^1(X,ℱ)⟶{\check{H}}^1(X,𝒢)⟶{\check{H}}^1(X,\mathscr{H})$

vorliegt.