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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 28/kontrolle

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Aufgaben

Es sei . Bestimme die Quotientengarbe zum injektiven Modulhomomorphismus



Bestimme die Quotientengarbe zum Polynom , aufgefasst als Modulhomomorphismus



Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und seien invertierbare Garben auf . Es sei ein Modulhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist nicht die Nullabbildung.
  2. ist injektiv.
  3. Über ist eine Untergarbe von .



Aufgabe Aufgabe 28.4 ändern

Es sei ein effektiver Divisor auf einer riemannschen Fläche und sei die zugehörige invertierbare Garbe mit dem zum Divisor gehörigen Modulhomomorphismus

Zeige, dass der Halm der Quotientengarbe in jedem Punkt ein - Vektorraum der Dimension ist.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei eine invertierbare Garbe vom Grad . Ferner besitze einen nichttrivialen Schnitt. Zeige, dass die Strukturgarbe ist.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien invertierbare Garben vom gleichen Grad. Es sei ein Modulhomomorphismus. Zeige, dass ein Isomorphismus ist.



Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht und sei eine invertierbare Garbe auf mit einem globalen Schnitt , . Zeige



Es sei eine Idealgarbe auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche vom Geschlecht . Berechne die Dimension von .


Für die folgende Aufgabe ziehe man Aufgabe 20.18 heran.


Bestimme mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimensionen und für sämtliche invertierbare Garben auf der projektiven Geraden.