Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 31

Aufgaben

Aufgabe *

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Zeige

$H^1(X,ℳ)=0.$

Aufgabe

Es sei $\phi :X\to Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ und $Y$ mit dem Verzweigungsdivisor $R$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Verzweigungsdivisor ist in der Tat ein Divisor.
2. Es ist $\phi$ genau in den Punkten des Trägers von $R$ verzweigt.
3. Wenn $\phi$ lokal auf offenen Kreisscheiben  $U\subseteq X$  bzw.  $V\subseteq Y$  durch eine holomorphe Funktion $f:U\to V$ beschrieben wird, so ist für  $P\in U$  die Ordnung $R_P$ gleich der Nullstellenordnung von $f^{\prime }$ in $P$.

Aufgabe

Zeige, dass es zwischen je zwei zusammenhängenden kompakten riemannschen Flächen $X$ und $Y$ eine nichtkonstante stetige Abbildung $\phi :X\to Y$ gibt.

Aufgabe

Es sei $\phi :{\mathbb{P}}_{ℂ}^1\to {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Zeige, dass zwischen dem Grad von $\phi$ und dem Verzweigungsdivisor $R$ die Beziehung

$\mathrm{Grad}(R)=2(\mathrm{Grad}(\phi )-1)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $\phi :{\mathbb{P}}_{ℂ}^1⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^1$, $z⟼z^n$, die durch die Potenzierung ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$) gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich. Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\phi$ und beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

$\mathrm{Grad}(R)=2(\mathrm{Grad}(\phi )-1)$

in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei  $F\in ℂ[z]$  ein Polynom vom Grad  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und sei $\phi :{\mathbb{P}}_{ℂ}^1⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^1$, $z⟼F(z)$, die zugehörige holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\phi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   $\mathrm{Grad}(R)=2(\mathrm{Grad}(\phi )-1)$

   in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei $\phi :{\mathbb{P}}_{ℂ}^1⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^1$, $z⟼\frac{(z-1)(z+1)}{z}$, die durch die rationale Funktion $\frac{(z-1)(z+1)}{z}$ gegebene holomorphe Abbildung von der projektiven Geraden in sich.

1. Bestimme den Verzweigungsdivisor $R$ von $\phi$.
2. Beweise die Formel von Riemann-Hurwitz

   $\mathrm{Grad}(R)=2(\mathrm{Grad}(\phi )-1)$

   in diesem Fall direkt.

Aufgabe *

Es sei $\phi :X\to Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen $X$ und $Y$.

1. Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung

   $g(X)\ge g(Y)$

   gilt.

Aufgabe

Es sei $\phi :X\to Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen. Folgt aus einer Isomorphie  ${\phi }^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_Y\cong {\mathrm{\Omega }}_X$,  dass $\phi$ biholomorph ist?

Aufgabe

Es sei $X$ eine hyperelliptische riemannsche Fläche mit einer endlichen holomorphen Abbildung $\phi :X\to {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ vom Grad $2$. Zeige, dass für das Geschlecht $g$ und den Verzweigungsdivisor $R$ von $\phi$ die Beziehung

$\mathrm{Grad}(R)=2g+2$

gilt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man den Beweis zu Satz 26.2.

Aufgabe *

Zeige, dass es kompakte zusammenhängende riemannsche Flächen $X$ vom Geschlecht  $g\ge 2$  gibt mit einem Punkt  $P\in X$  und einem lokalen Parameter $z$ in $P$ derart, dass die Kohomologieklassen in $H^1(X,{𝒪}_X)$ zu den Hauptteilen $\frac{1}{z},\dots ,\frac{1}{z^g}$ nicht linear unabhängig sind.