Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt

Zu einem Maßraum ${}X$ betrachten wir

${}{\mathcal {N}}={\left\{f:X\rightarrow {\mathbb {K} }{\text{ messbar}}\mid f=0{\text{ fast überall }}\right\}}\,.$

Dies ist ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, der aus allen messbaren Funktionen besteht, für die die Menge ${}{\left\{x\in X\mid f(x)\neq 0\right\}}$ eine Nullmenge ist. Nach Fakt stimmt dieser Raum mit dem Raum aller Funktionen überein, für die die ${}p$-Norm gleich ${}0$ ist. Daher liegt für jede reelle Zahl ${}p\geq 1$ die Unterraumbeziehung

${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}\,$

vor, und ${}{\mathcal {N}}$ entspricht für jeden ${}{\mathcal {L}}^{p}$ dem Untervektorraum ${}{\mathcal {Z}}$ aus Fakt.

Definition

Zu einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und einer reellen Zahl ${}p\geq 1$ definiert man die ${}L^{p}$-Räume durch

${}L^{p}(X):={\mathcal {L}}^{p}(X)/{\mathcal {N}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ als Maßraum mit dem Zählmaß, siehe Beispiel. Dabei ist die Nullfolge die einzige Folge, deren Träger das Maß ${}0$ besitzt, d.h. es ist ${}{\mathcal {N}}=0$ und es erübrigt sich der Übergang von ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ nach ${}L^{p}(X)$.

Lemma

Zu einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}p\geq 1$

ist der Lebesgueraum ${}L^{p}(X,\mu )$ durch

${}\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,$

ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum.

Beweis

Nach Fakt ist ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, auf dem ${}\Vert {-}\Vert _{p}$ nach Fakt eine Halbnorm ist. Nach Fakt besteht ${}{\mathcal {N}}$ genau aus den Funktionen, deren Norm gleich ${}0$ ist. Deshalb folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Wegen der Identifizierung von Funktionen, die sich nur in einer Nullmenge unterscheiden, kann man bei Funktionsklassen nicht unmittelbar von punktweiser Konvergenz sprechen. Man kann allerdings davon sprechen, dass fast überall punktweise Konvergenz vorliegt. Die folgende Aussage sichert, dass dies auch auf ${}L^{p}(X)$ eine wohldefinierte Eigenschaft ist.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${}p\geq 1$. Es seien ${}f,g$ messbare Funktionen und seien ${}f_{n}$ und ${}g_{n}$ Folgen von messbaren Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}f=g$ fast überall und es sei ${}f_{n}=g_{n}$ fast überall.

Dann konvergiert ${}f_{n}$ fast überall gegen ${}f$ genau dann, wenn ${}g_{n}$ fast überall gegen ${}g$ konvergiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Entsprechend kann man ähnliche Sprechweisen über messbare Funktionen auf ${}X$ auf Funktionsklassen in ${}L^{p}(X)$ übertragen.

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}p\geq 1$. Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von messbaren Funktionen auf ${}X$, die fast überall gegen die messbare Funktion ${}f$ konvergiere. Es gebe ein reellwertiges ${}g\in L^{p}(X)$, das fast überall für alle ${}\vert {f_{n}}\vert$ eine obere Schranke sei.

Dann konvergiert ${}f_{n}$ auch in ${}L^{p}(X)$ gegen ${}f$.

Beweis

Die Bedingung ${}\vert {f_{n}}\vert \leq g$ sichert einerseits, dass die ${}f_{n}$ zu ${}L^{p}(X)$ gehören, und andererseits, dass auch ${}\vert {f}\vert \leq g$ fast überall gilt, weshalb wiederum ${}f$ zu ${}L^{p}(X)$ gehört. Es konvergiert ${}\vert {f-f_{n}}\vert$ und damit auch ${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ fast überall gegen ${}0$. Wegen

${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}\leq (2g)^{p}=2^{p}g^{p}\,$

und wegen ${}g\in L^{p}(X)$ können wir auf die Folge ${}\vert {f-f_{n}}\vert ^{p}$ den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhalten ${}\Vert {f-f_{n}}\Vert _{p}\rightarrow 0$, also konvergiert ${}f_{n}$ in der ${}p$-Norm gegen ${}f$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}p\geq 1$. Es sei ${}g_{n}$ eine Folge von Funktionen in ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ derart, dass die reelle Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$ konvergiert.

Dann konvergiert die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und auch bezüglich der ${}p$-Norm gegen eine Funktion ${}g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Beweis

Es sei ${}b=\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$. Wir betrachten die Partialsummen

${}h_{m}=\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert \,$

und die Grenzfunktion

${}h=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert \,,$

die auch den Wert ${}\infty$ annehmen kann. Daher ist auch

${}h^{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}^{p}\,$

und nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist

${}\int _{X}h^{p}d\mu =\lim _{m\rightarrow \infty }\int _{X}h_{m}^{p}d\mu \,.$

Für Potenzieren mit dem Exponenten ${}1/p$ und erhalten

${}\Vert {h}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {h_{m}}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\,.$

Wegen

${}\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{m}\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq b\,$

für alle ${}m$ ist dies beschränkt. Es folgt ${}h\in {\mathcal {L}}^{p}$ und insbesondere ist ${}h^{p}$ integrierbar. Dies bedeutet, dass ${}h$ allenfalls auf einer Nullmenge den Wert ${}\infty$ annimmt. Die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert$ ist also außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent und daher ist nach Fakt auch die Funktionenreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent gegen eine Funktion ${}g$. Mit Fakt folgt, dass auch Konvergenz bezüglich der ${}p$-Norm vorliegt.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz.

Satz

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum.

Dann ist der Lebesgueraum ${}L^{p}(X)$ der ${}p$-integrierbaren Funktionen vollständig.

Beweis

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von (Äquivalenzklassen von) ${}p$-integrierbaren Funktionen auf ${}X$, die bezüglich der ${}p$-Norm ${}\Vert {-}\Vert _{p}$ eine Cauchy-Folge bilden. Da wir zu einer Teilfolge übergehen können, können wir (nach neuer Indizierung) annehmen, dass

${}\Vert {f_{n+1}-f_{n}}\Vert _{p}\leq {\frac {1}{2^{n}}}\,$

ist. Wir setzen ${}g_{n}=f_{n+1}-f_{n}$, und es gilt

${}\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\leq 2\,.$

Nach Fakt konvergiert die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ fast überall und bezüglich der ${}p$-Norm gegen eine Funktion ${}g\in {\mathcal {L}}^{p}(X)$. Daher konvergiert die Folge

${}f_{n}=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}(f_{i+1}-f_{i})=f_{0}+\sum _{i=0}^{n-1}g_{i}\,$

gegen ${}f_{0}+g$ in den beiden beschriebenen Sinnen.

$\Box$

Diese Aussage besagt also, dass ein Lebesgueraum ein Banachraum ist.