Matrix/Rang/Spalten und Zeilen/Invertierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von ${}K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben

$\operatorname {rang} \,M.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer ${}m\times n$-Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von ${}K^{n}$ ein.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$.

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Wenn man ${}M$ im Sinne von Fakt mittels elementarer Zeilenumformungen in eine Matrix ${}M'$ in Stufenform transformiert, so ist der Rang gleich der Anzahl der relevanten Zeilen von ${}M'$.

Beweis

Es sei ${}r$ die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix ${}M'$ in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von ${}M'$ und von ${}M$ übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von ${}M$ stimmt also mit dem Zeilenrang von ${}M'$ überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang ${}r$, da die ersten ${}r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang ${}r$, da die ${}r$ Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser ${}r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.

$\Box$

Beide Ränge stimmen also überein, sodass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}M$ ist invertierbar.
2. Der Rang von ${}M$ ist ${}n$.
3. Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.
4. Die Spalten von ${}M$ sind linear unabhängig.

Beweis

Die Äquivalenz von (2), (3) und (4) folgt aus der Definition und aus Fakt.
Für die Äquivalenz von (1) und (2) betrachten wir die durch ${}M$ definierte lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}.$

Die Eigenschaft, dass der Spaltenrang gleich ${}n$ ist, ist äquivalent zur Surjektivität der Abbildung, die aufgrund von Fakt äquivalent zur Bijektivität der Abbildung ist. Die Bijektivität ist nach Fakt äquivalent zur Invertierbarkeit der Matrix.

$\Box$