Monoidring/Universelle Eigenschaft/Funktorialität/Einführung/2/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$-Algebra und

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$-Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Beweis

Ein ${}R$-Modulhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente ${}X^{m}$, ${}m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ${}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}=\varphi (m)$ ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein ${}R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${}{\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{0}\right)}=\varphi (0)=1$. Ferner ist

${}{\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}X^{k}\right)}={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m+k}\right)}={\varphi (m+k)}=\varphi (m)\cdot \varphi (k)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}\cdot {\tilde {\varphi }}{\left(X^{k}\right)}\,.$

Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente ${}f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und ${}g=\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}X^{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}\varphi (\ell )\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}\varphi (m)\varphi (k)\\&={\left(\sum _{m\in M}a_{m}\varphi (m)\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}\varphi (k)\right)}\\&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)},\end{aligned}}$

so dass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Monoidhomomorphismus.

Dann induziert dies einen ${}R$-Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow R[N],\,X^{m}\longmapsto X^{\varphi (m)}.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt angewandt auf die ${}R$-Algebra ${}B=R[N]$ und den zusammengesetzten Monoidhomomorphismus ${}M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}N\rightarrow R[N]$.

$\Box$

Bemerkung  

Eine Familie von Elementen ${}m_{i}\in M$, ${}i\in I$, in einem Monoid ${}M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus ${}\mathbb {N} ^{(I)}\rightarrow M$, indem das ${}i$-te Basiselement ${}e_{i}$ auf ${}m_{i}$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen ${}I={\{1,\ldots ,n\}}$ relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch ${}X_{i}\mapsto X^{m_{i}}$ gegeben ist.

Definition

Zu einem kommutativen Monoid ${}M$ und einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$

auch einen ${}R$-wertigen Punkt von ${}M$.

Bemerkung  

Ein ${}R$-wertiger Punkt ist nach Fakt äquivalent zu einem ${}R$-Algebrahomomorphismus von ${}R[M]$ nach ${}R$. Diese Sprechweise ist insbesondere im Fall eines Grundkörpers ${}K$ üblich. Dann haben wir also

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[M],K\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)=\{K-{\text{wertige Punkte von }}M\}\,.$

Das bedeutet, dass hier das ${}K$-Spektrum bereits auf der Ebene des Monoids eine einfache Beschreibung besitzt, die rein multiplikativ ist. Das impliziert, wie wir sehen werden, dass es für die ${}K$-Spektren der Monoidringe im Allgemeinen eine viel übersichtlichere Beschreibung gibt als sonst. Man beachte allerdings, dass zur Definition der Zariski-Topologie und der Garbe der algebraischen Funktionen auf ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ der Monoidring unverzichtbar ist.

Bemerkung  

Ein kommutatives Monoid wird häufig durch endlich viele Erzeuger ${}e_{1},\ldots ,e_{r}$ zusammen mit binomialen Gleichungen zwischen den Erzeugern beschrieben. Diese sind von der Form

${}n_{1}e_{1}+\cdots +n_{r}e_{r}=m_{1}e_{1}+\cdots +m_{r}e_{r}\,$

mit ${}n_{i}\in \mathbb {N}$. Ein ${}K$-wertiger Punkt ${}\varphi \colon M\rightarrow K$ ist durch die Werte ${}a_{i}=\varphi (e_{i})$ eindeutig festgelegt. Dabei muss die Bedingung

${}a_{1}^{n_{1}}\cdots a_{r}^{n_{r}}=a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{r}^{m_{r}}\,$

erfüllt sein, und zwar für jede im Monoid gültige binomiale Gleichung.

Lemma

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

Beweis

Es sei ${}\varphi$ injektiv, und angenommen, dass

${}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}=\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)}=0\,.$

Da die $\varphi (m),\,m\in M$, alle verschieden sind, folgt daraus ${}a_{m}=0$. Ist umgekehrt ${}\varphi$ nicht injektiv, sagen wir $\varphi (m)=\varphi (k),\,m\neq k$, so ist auch ${}{\tilde {\varphi }}(X^{m})={\tilde {\varphi }}(X^{k})$, obwohl ${}X^{m}\neq X^{k}$ ist.

Ist ${}\varphi$ surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element ${}\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}$ aus ${}R[N]$ sofort ein Urbild angeben, nämlich ${}\sum _{n\in N}a_{n}X^{m_{n}}$, wobei ${}m_{n}$ ein beliebiges Urbild von ${}n$ sei. Ist hingegen ${}\varphi$ nicht surjektiv, so sei ${}n\in N$ ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom ${}X^{n}$ von ${}0$ verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein von ${}0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$, eine Familie von Elementen aus ${}M$.

Dann bilden die ${}m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$, wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$, ein ${}R$-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring ${}R[M]$ bilden.

Beweis

Die $m_{i},\,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für ${}M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${}{\mathbb {N} }^{(I)}\rightarrow M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus

$R[X_{i},i\in I]\longrightarrow R[M],\,X_{i}\longmapsto X^{m_{i}},$

surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die ${}X^{m_{i}}$ ein ${}R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S$ eine ${}R$-Algebra. Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid.

Dann gibt es einen natürlichen ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow S[M],\,\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\longmapsto \sum _{m\in M}a_{m}X^{m},$

(die Koeffizienten aus ${}R$ werden also einfach in ${}S$ aufgefasst).

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die ${}R$-Algebra ${}S[M]$ und den Monoidhomorphismus ${}M\rightarrow S[M]$.

$\Box$